Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
.
Queremos encontrar os pontos críticos (onde ou
não existe), classificar cada ponto quanto a máximo ou mínimo relativo usando o teste da segunda derivada, e depois descrever como é o esboço do gráfico a partir desses resultados.
Queremos encontrar os pontos críticos (onde
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para localizar pontos críticos. Usando
e
, temos
Igualando a zero,
A derivada existe em todo
, logo o único ponto crítico é
.
Passo 3
Para classificar
usamos a segunda derivada. Derivando
:
Em
temos
o que indica concavidade para baixo e, portanto, um máximo relativo em
. O valor da função ali é
Passo 4
Para esboçar o gráfico, analisamos o comportamento nos extremos do domínio:
- Quando
, e é pequeno, logo . - Quando
, o termo domina , então .
Assim a curva vem deem , sobe até o ponto de máximo e depois decai para conforme cresce. Em todo o domínio a concavidade é para baixo ( ).
Resposta
O único ponto crítico é
e trata-se de um máximo relativo. O gráfico sobe de
em
, atinge esse pico em
e depois decai para
conforme
.