Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
y=2 ln x-x, 0<x<infty

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 2ln x - x,
definida para 0<x<infty.
Queremos encontrar os pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe), classificar cada ponto quanto a máximo ou mínimo relativo usando o teste da segunda derivada, e depois descrever como é o esboço do gráfico a partir desses resultados.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para localizar pontos críticos. Usando ddxln x = tfrac1x e ddx(x)=1, temos
y' = 2cdot1x ;-; 1 = 2x - 1
Igualando a zero,
2x - 1 = 0 Longrightarrow 2x = 1 Longrightarrow x = 2
A derivada existe em todo 0<x<infty, logo o único ponto crítico é x=2.

Passo 3

Para classificar x=2 usamos a segunda derivada. Derivando y':
y'' = ddxl(2x-1r) = -2,x^-2 = -2x^2
Em x=2 temos
y''(2) = -22^2 = -24 = -tfrac12 < 0,
o que indica concavidade para baixo e, portanto, um máximo relativo em x=2. O valor da função ali é
y(2) = 2ln 2 - 2

Passo 4

Para esboçar o gráfico, analisamos o comportamento nos extremos do domínio:
  • Quando xto0^+, ln xto-infty e x é pequeno, logo yto-infty.
  • Quando xtoinfty, o termo -x domina 2ln x, então yto-infty.
    Assim a curva vem de -infty em xapprox0, sobe até o ponto de máximo l(2,2ln2-2r) e depois decai para -infty conforme x cresce. Em todo o domínio a concavidade é para baixo ( y''<0).

Resposta

O único ponto crítico é
x=2, y(2)=2ln2-2,
e trata-se de um máximo relativo. O gráfico sobe de -infty em xto0^+, atinge esse pico em l(2,2ln2-2r) e depois decai para -infty conforme xtoinfty.

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