Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado apresenta a função
no intervalo
. Precisamos encontrar os pontos críticos usando derivada, classificar se há máximo ou mínimo relativo, determinar extremos absolutos e esboçar o gráfico. O conteúdo é análise de funções, envolvendo derivada e estudo de extremos.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos.
Resolvendo
obtemos
Como
é uma reta, só há esse único ponto crítico, e
pertence ao intervalo
.
Passo 3
Para classificar esse ponto, usamos a derivada segunda:
Como
em todo o domínio, a função é côncava para cima, logo
é ponto de mínimo relativo.
Passo 4
Vamos determinar os extremos absolutos em
. Avaliamos
em
,
e
:
O valor mínimo é
em
. O valor máximo é
em
.
Passo 5
Esboço do gráfico: é uma parábola com concavidade para cima e vértice em
. Em
tem ponto
e em
o ponto
. A curva decresce de
até
e cresce de
até
.
Resposta
Ponto crítico único:
.
Em há mínimo relativo.
Mínimo absoluto: em
.
Máximo absoluto: em
.
Em
Mínimo absoluto:
Máximo absoluto: