Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=x^2-4 x+5, 0 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado apresenta a função
y = x^2 - 4x + 5
no intervalo [0,3]. Precisamos encontrar os pontos críticos usando derivada, classificar se há máximo ou mínimo relativo, determinar extremos absolutos e esboçar o gráfico. O conteúdo é análise de funções, envolvendo derivada e estudo de extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos.
y' = ddx(x^2-4x+5) = 2x - 4
Resolvendo y'=0 obtemos
2x - 4 = 0 Longrightarrow x0 = 2
Como y' é uma reta, só há esse único ponto crítico, e x0=2 pertence ao intervalo [0,3].

Passo 3

Para classificar esse ponto, usamos a derivada segunda:
y'' = ddx(2x-4) = 2 > 0
Como y''>0 em todo o domínio, a função é côncava para cima, logo x0=2 é ponto de mínimo relativo.

Passo 4

Vamos determinar os extremos absolutos em [0,3]. Avaliamos y em x=0, x=2 e x=3:
y(0) = 0^2 - 4cdot0 + 5 = 5, y(2) = 2^2 - 4cdot2 + 5 = 1, y(3) = 3^2 - 4cdot3 + 5 = 2
O valor mínimo é m = 1 em x=2. O valor máximo é M = 5 em x=0.

Passo 5

Esboço do gráfico: é uma parábola com concavidade para cima e vértice em (2,1). Em x=0 tem ponto (0,5) e em x=3 o ponto (3,2). A curva decresce de x=0 até x=2 e cresce de x=2 até x=3.

Resposta

Ponto crítico único: x0 = 2.
Em x0 há mínimo relativo.
Mínimo absoluto: m = 1 em x = 2.
Máximo absoluto: M = 5 em x = 0.

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