Se p e p ^2+8 são ambos números primos, prove que p^3+4 também é primo.

Passo 1

O enunciado diz que p é um número primo tal que p^2+8 também é primo. Queremos mostrar que isso implica que p^3+4 é primo. A ideia é analisar p^2+8 módulo 3 para forçar um valor específico de p.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que pneq3. Então p é um primo diferente de 3, logo
pequiv pm1pmod3
e portanto
p^2equiv1pmod3
Daí
p^2+8equiv1+8equiv9equiv0pmod3
Como p^2+8>3, isso mostra que p^2+8 é divisível por 3 e maior que 3, ou seja, composto. Isso contraria a hipótese de que p^2+8 é primo.

Passo 3

Logo a suposição pneq3 falha, e a única possibilidade é
p=3
Verifiquemos então:
p^2+8 = 9+8 = 17,
que é primo por inspeção, e
p^3+4 = 27+4 = 31
Basta notar que 31 não tem divisores inteiros além de 1 e dele mesmo, logo é primo.

Resposta

Portanto, sob a condição de que p e p^2+8 sejam primos, segue-se que p=3 e consequentemente p^3+4 = 31 é primo.

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