Se p e p
são ambos números primos, prove que
também é primo.
Passo 1
O enunciado diz que
é um número primo tal que
também é primo. Queremos mostrar que isso implica que
é primo. A ideia é analisar
módulo 3 para forçar um valor específico de
.
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que
. Então
é um primo diferente de 3, logo
e portanto
Daí
Como
, isso mostra que
é divisível por 3 e maior que 3, ou seja, composto. Isso contraria a hipótese de que
é primo.
Passo 3
Logo a suposição
falha, e a única possibilidade é
Verifiquemos então:
que é primo por inspeção, e
Basta notar que 31 não tem divisores inteiros além de 1 e dele mesmo, logo é primo.
Resposta
Portanto, sob a condição de que
e
sejam primos, segue-se que
e consequentemente
é primo.