(U.F. São Carlos-SP) Os números reais positivos a, b e c, nesta ordem, são medidas, em cm, dos lados de um triângulo e estão em progressão geométrica. Sabendo-se que a cdot c=144, e que a razão da P.G. é 32, pode-se concluir que o perímetro desse triângulo, em cm, é igual a:
a) 46
b) 44
c) 42
d) 40

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos lados positivos a,b,c estão em progressão geométrica de razão r=tfrac32 e satisfazem acdot c=144. Queremos encontrar o perímetro P=a+b+c.

Passo 2

Em uma P.G. de razão r, os termos são relacionados por
b = a,r, c = a,r^2

Passo 3

Como acdot c=144, temos
acdot(a,r^2)=a^2r^2=144
Substituindo r=tfrac32, vem
a^2l(tfrac32r)^2 = a^294 =144 Longrightarrow a^2=144cdot49=64 Longrightarrow a=8
(só a raiz positiva faz sentido para medida de lado).

Passo 4

Com a=8 e r=tfrac32, calcula-se
b = a,r = 8cdottfrac32=12, c = a,r^2 = 8cdot94=18

Passo 5

Verificamos as desigualdades triangulares:
8+12=20>18, 8+18=26>12, 12+18=30>8,
ou seja, formam um triângulo.

Passo 6

O perímetro é
P = a+b+c = 8+12+18 = 38

Resposta

O perímetro do triângulo é 38 cm, valor que não coincide com nenhuma das alternativas apresentadas.

Exercícios de Livros Relacionados