Quais são as derivadas da função exponencial e^{x} e da função logaritmo natural \ln x ? Como os domínios das derivadas se comparam com os domínios das funções?

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de duas funções elementares: a exponencial e^x e o logaritmo natural \ln x. Para isso, vamos usar as regras básicas de diferenciação: a derivada de e^x é ela mesma, e a derivada de \ln x é 1/x. Também vamos comparar o domínio de cada função com o domínio de sua derivada.

Passo 2

Seja f(x)=e^x. Pela regra conhecida de diferenciação da exponencial, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}e^x=e^x.
O domínio de f é todo o conjunto dos números reais, isto é, \mathbb{R}. Como e^x está bem definido para todo x\in\mathbb{R}, o domínio de f' também é \mathbb{R}.

Passo 3

Seja g(x)=\ln x. A regra de diferenciação do logaritmo natural diz
g'(x)=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
A função \ln x só faz sentido para x>0, então o domínio de g é (0,\infty). A expressão 1/x é definida sempre que x\neq0, mas como só podemos avaliar \frac{d}{dx}\ln x onde \ln x existe, o domínio de g' fica restrito a (0,\infty).

Passo 4

Comparando domínios:
  • Para a exponencial, tanto e^x quanto sua derivada e^x estão definidos em \mathbb{R}.
  • Para o logaritmo, tanto \ln x quanto sua derivada 1/x estão definidos em (0,\infty).

Resposta

As derivadas são:
\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x
\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}
Os domínios coincidem com os das funções originais:
  • e^x e sua derivada em \mathbb{R}.
  • \ln x e sua derivada em (0,\infty).

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