Quais são as derivadas da função exponencial
e da função logaritmo natural
? Como os domínios das derivadas se comparam com os domínios das funções?
Passo 1
O enunciado pede as derivadas de duas funções elementares: a exponencial
e o logaritmo natural
. Para isso, vamos usar as regras básicas de diferenciação: a derivada de
é ela mesma, e a derivada de
é
. Também vamos comparar o domínio de cada função com o domínio de sua derivada.
Passo 2
Seja
. Pela regra conhecida de diferenciação da exponencial, temos
O domínio de
é todo o conjunto dos números reais, isto é,
. Como
está bem definido para todo
, o domínio de
também é
.
Passo 3
Seja
. A regra de diferenciação do logaritmo natural diz
A função
só faz sentido para
, então o domínio de
é
. A expressão
é definida sempre que
, mas como só podemos avaliar
onde
existe, o domínio de
fica restrito a
.
Passo 4
Comparando domínios:
- Para a exponencial, tanto
quanto sua derivada estão definidos em . - Para o logaritmo, tanto
quanto sua derivada estão definidos em .
Resposta
As derivadas são:
Os domínios coincidem com os das funções originais:
-
e sua derivada em . -
e sua derivada em .