Como os limites \lim _{h \rightarrow 0}(\operatorname{sen} h) / h e \lim _{h \rightarrow 0}((\cos h-1) / h) estão relacionados com as derivadas das funções seno e cosseno? Quais são as derivadas dessas funções?

Passo 1

O enunciado quer mostrar como os limites
\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h} e
\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}
aparecem no cálculo das derivadas de \sin x e \cos x. Para isso, usaremos a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
e as fórmulas de soma de ângulos
\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h e
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h,
além dos limites fundamentais
\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e
\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 2

Para f(x)=\sin x temos
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h} =\lim_{h\to0}\Bigl(\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\Bigr).
Como \lim_{h\to0}(\cos h-1)/h=0 e \lim_{h\to0}(\sin h)/h=1, conclui-se
f'(x)=\cos x.

Passo 3

Para g(x)=\cos x procedemos de modo análogo:
g'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h} =\lim_{h\to0}\Bigl(\cos x\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\frac{\sin h}{h}\Bigr).
Usando os mesmos limites fundamentais, obtemos
g'(x)=-\sin x.

Resposta

\displaystyle\frac{d}{dx}\sin x=\cos x \displaystyle\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x
e, para isso, foram essenciais
\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e
\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

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