O que são equações vetorial e paramétrica para o movimento ideal de um projétil? Como você encontra a altura máxima, o tempo de trajetória no ar e o alcance de um projétil ideal? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar as equações vetorial e paramétrica do movimento de um projétil ideal (sem resistência do ar, aceleração constante de \mathbf{a}=(0,-g)), e depois mostrar como obter a altura máxima, o tempo total de voo e o alcance horizontal. Vamos precisar da posição inicial \mathbf{r}_0=(x_0,y_0), da velocidade inicial \mathbf{v}_0=v_0(\cos\theta,\sin\theta) e da aceleração da gravidade g.

Passo 2

A equação vetorial da posição em função do tempo é dada pelo deslocamento uniformemente variado em cada componente. Assim,
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0\,t+\tfrac12\mathbf{a}\,t^2.
Substituindo \mathbf{v}_0 e \mathbf{a}:
\mathbf{r}(t)=\bigl(x_0,y_0\bigr)+v_0\bigl(\cos\theta,\sin\theta\bigr)\,t+\tfrac12\bigl(0,-g\bigr)\,t^2.

Passo 3

Separando em componentes, chegamos às equações paramétricas
x(t)=x_0+v_0\cos\theta\;t,
y(t)=y_0+v_0\sin\theta\;t-\tfrac12\,g\,t^2.
Elas descrevem horizontal e vertical independentemente.

Passo 4

Para achar o tempo total de voo, impomos y(t_f)=0 (supondo y_0=0 e retorno ao mesmo nível de lançamento). Resolvendo
0 = v_0\sin\theta\;t_f - \tfrac12\,g\,t_f^2
além da solução trivial t_f=0, temos
t_f = \frac{2\,v_0\sin\theta}{g}.

Passo 5

A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical zera: v_y(t_H)=0 com
v_y(t)=v_0\sin\theta - g\,t.
Logo
t_H = \frac{v_0\sin\theta}{g}.
Substituindo em y(t)
y_{\max} = v_0\sin\theta\;t_H - \tfrac12\,g\,t_H^2 = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2\,g}.

Passo 6

O alcance horizontal é x(t_f). Usando t_f=2v_0\sin\theta/g em
x(t)=v_0\cos\theta\;t
obtém-se
R = \frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta).

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t)=\bigl(x_0,y_0\bigr)+v_0\bigl(\cos\theta,\sin\theta\bigr)t+\tfrac{1}{2}\bigl(0,-g\bigr)t^2.
Equações paramétricas:
x(t)=x_0+v_0\cos\theta\,t,\quad y(t)=y_0+v_0\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^2.
Tempo de voo:
t_f=\frac{2\,v_0\sin\theta}{g}.
Altura máxima:
y_{\max}=\frac{(v_0\sin\theta)^2}{2\,g}.
Alcance:
R=\frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta).
Exemplo numérico: para v_0=20,m/s, \theta=45^\circ e g=9,8,m/ s^{2},
t_f\approx\frac{2\cdot20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{9,8}\approx2,9\text{ s},\quad y_{\max}\approx\frac{(20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{2\cdot9,8}\approx10,2\text{ m},\quad R\approx\frac{20^2}{9,8}\sin(90^\circ)\approx40,8\text{ m}.

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