Quais são as hipóteses e a conclusão do Teorema do Valor Médio? Que interpretações físicas esse teorema pode ter?
Passo 1
O Teorema do Valor Médio (TVM) é um resultado de Cálculo diferencial que conecta a taxa média de variação de uma função num intervalo ao seu valor instantâneo de derivada em algum ponto interior. Para usá-lo, precisamos de uma função real
num intervalo
e das propriedades de continuidade e diferenciabilidade.
Passo 2
Hipóteses do Teorema do Valor Médio:
.
está definida em
.
.
é contínua em
.
.
é diferenciável em
.
Passo 3
Conclusão do Teorema do Valor Médio:
Existe pelo menos um ponto tal que
Existe pelo menos um ponto
Passo 4
Interpretações físicas do TVM:
. Se
é a posição de um objeto em função do tempo, então
é a velocidade média entre
e
, e o teorema garante um instante
em que a velocidade instantânea
coincide com essa velocidade média.
. Para uma grandeza qualquer (temperatura, pressão, concentração), a variação média num intervalo é igual à taxa de variação instantânea em algum ponto desse intervalo, mostrando que oscilações médias sempre “tocam” os valores instantâneos.
Resposta
Hipóteses:
definida em
.
contínua em
.
diferenciável em
.
Conclusão:
Interpretações físicas:
– A velocidade instantânea iguala a velocidade média em algum instante.
– Qualquer taxa média de variação (temperatura, pressão etc.) ocorre exatamente como taxa instantânea numa posição intermediária.
– A velocidade instantânea iguala a velocidade média em algum instante.
– Qualquer taxa média de variação (temperatura, pressão etc.) ocorre exatamente como taxa instantânea numa posição intermediária.