Quais são as hipóteses e a conclusão do Teorema do Valor Médio? Que interpretações físicas esse teorema pode ter?

Passo 1

O Teorema do Valor Médio (TVM) é um resultado de Cálculo diferencial que conecta a taxa média de variação de uma função num intervalo ao seu valor instantâneo de derivada em algum ponto interior. Para usá-lo, precisamos de uma função real f num intervalo [a,b] e das propriedades de continuidade e diferenciabilidade.

Passo 2

Hipóteses do Teorema do Valor Médio:
1. f está definida em [a,b].
2. f é contínua em [a,b].
3. f é diferenciável em (a,b).

Passo 3

Conclusão do Teorema do Valor Médio:
Existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)} \;=\;\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Passo 4

Interpretações físicas do TVM:
1. Se f(t) é a posição de um objeto em função do tempo, então \frac{f(b)-f(a)}{b-a} é a velocidade média entre t=a e t=b, e o teorema garante um instante c em que a velocidade instantânea f'\text{(c)} coincide com essa velocidade média.
2. Para uma grandeza qualquer (temperatura, pressão, concentração), a variação média num intervalo é igual à taxa de variação instantânea em algum ponto desse intervalo, mostrando que oscilações médias sempre “tocam” os valores instantâneos.

Resposta

Hipóteses:
\bullet f definida em [a,b].
\bullet f contínua em [a,b].
\bullet f diferenciável em (a,b).
Conclusão:
\exists\,c\in(a,b)\quad\text{tal que}\quad f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Interpretações físicas:
– A velocidade instantânea iguala a velocidade média em algum instante.
– Qualquer taxa média de variação (temperatura, pressão etc.) ocorre exatamente como taxa instantânea numa posição intermediária.

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