(Magistério 1^circ e 2^circ graus - SP-86) Sendo q um número natural diferente de zero e Aq=n in N: n é múltiplo de q, a frase verdadeira é:
a) Ap cup Aq=Ap q
b) se p neq q, entảo Ap cap Aq=varnothing
c) s e r in Aq, r neq 0, então Ar subset, Aq
d) existe q in I N, q>0, tal que Aq=varnothing
e) Ap cap Aq=Ar, onde r=mdc(p, q)

Passo 1

O enunciado define, para cada qinNsetminus0, o conjunto
Aq = ,ninN : n é mú<iplo de q éú
ou seja,
Aq = ,q,,2q,,3q,dots
Queremos determinar qual das afirmativas (a) a (e) é verdadeira, usando propriedades de múltiplos e divisibilidade.

Passo 2

Analisando (a): “ Apcup Aq=Apq”.
O lado esquerdo é todos os números que são múltiplos de p ou de q. Mas Apq são apenas os múltiplos de p q, que é um subconjunto próprio de Apcup Aq. Por exemplo, se p=2 e q=3, então 4in A2cup A3 mas 4notin A6. Logo (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “se pneq q, então Apcap Aq=varnothing”.
O conjunto Apcap Aq são justamente os números que são múltiplos comuns de p e de q. Sempre existe, por exemplo, o número lcm(p,q). No caso p=2, q=3 temos 6in A2cap A3. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “se rin Aq,,rneq 0, então Arsubset Aq”.
Se rin Aq então r=kq para algum kinN. Qualquer múltiplo de r é da forma ell r = ell(kq) = (ell k)q, ou seja, é múltiplo de q. Logo cada elemento de Ar pertence a Aq, e portanto
Ar subset Aq
Assim (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d): “existe qinN,,q>0, tal que Aq=varnothing”.
Por definição Aq sempre contém pelo menos o elemento q. Então nunca pode ser vazio. Logo (d) é falsa.

Passo 6

Analisando (e): “ Apcap Aq=Ar, onde r=gcd(p,q)”.
Na verdade a interseção de conjuntos de múltiplos de p e de q é o conjunto de múltiplos de lcm(p,q), não de gcd(p,q). Logo (e) é falsa.

Resposta

c) se rin Aq, rneq 0, então Arsubset Aq

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