(Magistério
e
graus - SP-86) Sendo
um número natural diferente de zero e
é múltiplo de
, a frase verdadeira é:
a)
b) se
, entảo
c)
, então
d) existe
, tal que
e)
, onde
a)
b) se
c)
d) existe
e)
Passo 1
O enunciado define, para cada
, o conjunto
ou seja,
Queremos determinar qual das afirmativas (a) a (e) é verdadeira, usando propriedades de múltiplos e divisibilidade.
Passo 2
Analisando (a): “
”.
O lado esquerdo é todos os números que são múltiplos de ou de
. Mas
são apenas os múltiplos de
, que é um subconjunto próprio de
. Por exemplo, se
e
, então
mas
. Logo (a) é falsa.
O lado esquerdo é todos os números que são múltiplos de
Passo 3
Analisando (b): “se
, então
”.
O conjunto são justamente os números que são múltiplos comuns de
e de
. Sempre existe, por exemplo, o número
. No caso
,
temos
. Logo (b) é falsa.
O conjunto
Passo 4
Analisando (c): “se
, então
”.
Se então
para algum
. Qualquer múltiplo de
é da forma
, ou seja, é múltiplo de
. Logo cada elemento de
pertence a
, e portanto
Se
Assim (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d): “existe
, tal que
”.
Por definição sempre contém pelo menos o elemento
. Então nunca pode ser vazio. Logo (d) é falsa.
Por definição
Passo 6
Analisando (e): “
, onde
”.
Na verdade a interseção de conjuntos de múltiplos de e de
é o conjunto de múltiplos de
, não de
. Logo (e) é falsa.
Na verdade a interseção de conjuntos de múltiplos de
Resposta
c) se
, então