Seja (
) um terno pitagórico no qual a e c sāo números naturais consecutivos. Mostre que
, para algum
e que, portanto,
é primitivo.
Passo 1
O enunciado pede todos os ternos pitagóricos
tais que
e
são naturais consecutivos, ou seja,
O conteúdo aqui é resolver a equação de Pitágoras sob essa condição e, em seguida, mostrar que o resultado é um terno primitivo.
Passo 2
Substituindo
em
, temos
daí simplifica-se para
Logo,
deve ser um quadrado perfeito.
Passo 3
Escrevamos
como um inteiro
, isto é,
portanto
Como
é ímpar (porque
é ímpar),
é ímpar. Logo existe
tal que
Substituindo em
e
dá
Passo 4
Para ver que o terno é primitivo, basta notar que
Como
é ímpar, qualquer divisor comum com
não pode dividir o fator
, e também não pode dividir ambos
e
simultaneamente (pois são consecutivos). Logo
Além disso,
implica
. Portanto
.
Resposta
com
, e o terno
é primitivo.