Seja ( a, b, c ) um terno pitagórico no qual a e c sāo números naturais consecutivos. Mostre que a=2 t(t+1), b=2 t+1 e c=2 t(t+1)+1, para algum t in N e que, portanto, (a, b, c) é primitivo.

Passo 1

O enunciado pede todos os ternos pitagóricos (a,b,c) tais que a e c são naturais consecutivos, ou seja,
a^2 + b^2 = c^2 e c = a + 1
O conteúdo aqui é resolver a equação de Pitágoras sob essa condição e, em seguida, mostrar que o resultado é um terno primitivo.

Passo 2

Substituindo c = a+1 em a^2 + b^2 = c^2, temos
a^2 + b^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1
daí simplifica-se para
b^2 = 2a + 1
Logo, 2a+1 deve ser um quadrado perfeito.

Passo 3

Escrevamos b como um inteiro m, isto é,
b = m, m^2 = 2a + 1,
portanto
a = m^2 - 12 = (m-1)(m+1)2
Como m^2 é ímpar (porque 2a+1 é ímpar), m é ímpar. Logo existe tinN tal que
m = 2t + 1
Substituindo em a e b
a = (2t+1)^2 - 12 = 4t^2 + 4t2 = 2t(t+1), b = 2t + 1, c = a + 1 = 2t(t+1) + 1

Passo 4

Para ver que o terno é primitivo, basta notar que
gcdl(a,br) = gcdl(2t(t+1),,2t+1r)
Como 2t+1 é ímpar, qualquer divisor comum com 2t(t+1) não pode dividir o fator 2, e também não pode dividir ambos t e t+1 simultaneamente (pois são consecutivos). Logo
gcdl(2t(t+1),,2t+1r) = 1
Além disso, c=a+1 implica gcd(a,c)=1. Portanto gcd(a,b,c)=1.

Resposta

a = 2t(t+1), b = 2t+1, c = 2t(t+1)+1,
com tinN, e o terno (a,b,c) é primitivo.

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