Se p e 2p-1 são números primos ímpares e n=2(2 p-1), mostre que varphi(n)=varphi(n+2).

Passo 1

O enunciado diz que p e 2p-1 são números primos ímpares e define
n = 2,(2p-1)
Queremos mostrar que
varphi(n) = varphi(n+2)
Para isso vamos usar as propriedades da função totiente de Euler: o valor em um produto de fatores primos coprimos é o produto dos valores, e sabemos que varphi(p)=p-1 para primo p e varphi(p^k)=p^k-p^k-1.

Passo 2

Definimos q = 2p-1. Então
n = 2,q,
e
n+2 = 2q + 2 = 2,(q+1) = 2,(2p-1+1) = 2cdot(2p) = 4p

Passo 3

Como gcd(2,q)=1, a função totiente é multiplicativa, logo
varphi(n) = varphi(2q) = varphi(2),varphi(q)
Sabemos que varphi(2)=1 e, sendo q primo,
varphi(q) = q-1 = (2p-1)-1 = 2p-2
Portanto
varphi(n) = 1 cdot (2p-2) = 2p-2

Passo 4

Analogamente, como gcd(4,p)=1, temos
varphi(n+2) = varphi(4p) = varphi(4),varphi(p)
E sabemos que varphi(4)=2 e varphi(p)=p-1. Logo
varphi(n+2) = 2 cdot (p-1) = 2p-2

Passo 5

Comparando os resultados obtidos,
varphi(n) = 2p-2 e varphi(n+2) = 2p-2,
seguimos que
varphi(n) = varphi(n+2)

Resposta

varphi(n) = varphi(n+2).

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