Seja d=mdc(m, n). Mostre que:
varphi(mn) varphi(d)=d varphi(m) varphi(n)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para m,n inteiros positivos e d=gcd(m,n), vale
varphi(mn),varphi(d)=d,varphi(m),varphi(n)
O conteúdo usado será a multiplicatividade de varphi em argumentos coprimos e a fórmula de varphi em potências de primo.

Passo 2

Como d=gcd(m,n), podemos escrever
m=d,a, n=d,b,
onde gcd(a,b)=1. Note que então gcd(d,a)=gcd(d,b)=1.

Passo 3

Pela multiplicatividade de varphi em pares coprimos, temos:
varphi(mn)=varphi(d^2,a,b) =varphi(d^2),varphi(a,b) =varphi(d^2),varphi(a),varphi(b),
pois gcd(d^2,ab)=1. Analogamente,
varphi(m)=varphi(d,a)=varphi(d),varphi(a), varphi(n)=varphi(d,b)=varphi(d),varphi(b)

Passo 4

Agora compare os dois lados da identidade desejada:
varphi(mn),varphi(d) =l[varphi(d^2),varphi(a),varphi(b)r],varphi(d) =varphi(d^2),varphi(d),varphi(a),varphi(b),
e
d,varphi(m),varphi(n) =dl[varphi(d),varphi(a)r]l[varphi(d),varphi(b)r] =d,varphi(d)^2,varphi(a),varphi(b)
Logo basta mostrar que
varphi(d^2),varphi(d) = d,varphi(d)^2,
ou seja
varphi(d^2)=d,varphi(d)

Passo 5

Para provar varphi(d^2)=d,varphi(d), use a fatoração prima
d=prodipi^ki Longrightarrow varphi(d)=prodipi^ki-1(pi-1)
Então
varphi(d^2) =prodipi^2ki-1(pi-1) =prodipi^ki;pi^ki-1(pi-1) =d;prodipi^ki-1(pi-1) =d,varphi(d)

Resposta

varphi(mn),varphi(d)=d,varphi(m),varphi(n)

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