Seja
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
inteiros positivos e
, vale
O conteúdo usado será a multiplicatividade de
em argumentos coprimos e a fórmula de
em potências de primo.
Passo 2
Como
, podemos escrever
onde
. Note que então
.
Passo 3
Pela multiplicatividade de
em pares coprimos, temos:
pois
. Analogamente,
Passo 4
Agora compare os dois lados da identidade desejada:
e
Logo basta mostrar que
ou seja
Passo 5
Para provar
, use a fatoração prima
Então