Se 10 a+b é múltiplo de 7 , prove que a^3-b^3 também o é.

Passo 1

O enunciado diz que, para inteiros a e b, se 10a + b é múltiplo de 7, então devemos mostrar que a^3 - b^3 também é múltiplo de 7. Vamos usar aritmética modular (congruências) para simplificar o problema.

Passo 2

Como 10 equiv 3 pmod7, temos
10a + b equiv 3a + b equiv 0 pmod7
Daí segue que
b equiv -3a pmod7

Passo 3

Agora calculamos a^3 - b^3 módulo 7 usando b equiv -3a:
a^3 - b^3 equiv a^3 - (-3a)^3 = a^3 + 27a^3 = 28a^3 equiv 0 pmod7,
pois 28 é múltiplo de 7.

Resposta

Portanto, a^3 - b^3 é múltiplo de 7.

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