Se
e
são números reais com
, mostre que existe pelo menos um número racional
tal que
e, portanto, existe uma infinidade deles. Em particular, entre dois irracionais existe uma infinidade de racionais.
Passo 1
O enunciado afirma que, dados dois reais
, existe um racional
tal que
. O conteúdo que vamos usar é a propriedade arquimediana dos números reais e a construção de racionais pela divisão de inteiros. Isso mostra que os racionais são densos em
.
Passo 2
Pela propriedade arquimediana, aplicamos-a ao número
Concluímos que existe um natural
tal que
Multiplicando essa desigualdade por
, obtemos
Passo 3
Observe que
e que a diferença
é maior que
. Assim, existem inteiros consecutivos entre
e
. De fato, seja
onde
é a parte inteira de
. Então por construção
Além disso, como
implica
, e sabendo que
, segue-se
Passo 4
Definimos agora o candidato racional
Como
, dividindo tudo por
vem
ou seja,
. E
é racional pois
e
.
Passo 5
Para cada escolha diferente de
maior que
e respectivo
, obtemos um racional
no intervalo
. Logo há infinitos racionais entre
e
. Em particular, se
e
forem irracionais, ainda assim existe uma infinidade de racionais
com
.
Resposta
Concluímos que entre quaisquer
reais existe ao menos um racional
tal que
, e portanto há infinitos racionais nesse intervalo. Por consequência, mesmo entre dois irracionais há infinitamente muitos racionais.