Se a e b são números reais com a<b, mostre que existe pelo menos um número racional c tal que a<c<b e, portanto, existe uma infinidade deles. Em particular, entre dois irracionais existe uma infinidade de racionais.

Passo 1

O enunciado afirma que, dados dois reais a<b, existe um racional c tal que a<c<b. O conteúdo que vamos usar é a propriedade arquimediana dos números reais e a construção de racionais pela divisão de inteiros. Isso mostra que os racionais são densos em R.

Passo 2

Pela propriedade arquimediana, aplicamos-a ao número
1b - a;>;0
Concluímos que existe um natural ninN tal que
n > 1b - a
Multiplicando essa desigualdade por b-a>0, obtemos
n,(b-a)>1 Longrightarrow n,b - n,a>1

Passo 3

Observe que n,a<n,b e que a diferença n,b-n,a é maior que 1. Assim, existem inteiros consecutivos entre n,a e n,b. De fato, seja
k = llfloor n,arrfloor + 1,
onde lfloor xrfloor é a parte inteira de x. Então por construção
k-1 <= n,a < k Longrightarrow n,a < k
Além disso, como k-1<= n,a implica k<= n,a+1, e sabendo que n,a+1<n,b, segue-se
k < n,b

Passo 4

Definimos agora o candidato racional
c = kn
Como n,a<k<n,b, dividindo tudo por n>0 vem
a < kn < b,
ou seja, a<c<b. E c é racional pois kinZ e ninN.

Passo 5

Para cada escolha diferente de n maior que 1/(b-a) e respectivo k, obtemos um racional c no intervalo (a,b). Logo há infinitos racionais entre a e b. Em particular, se a e b forem irracionais, ainda assim existe uma infinidade de racionais c com a<c<b.

Resposta

Concluímos que entre quaisquer a<b reais existe ao menos um racional c tal que a<c<b, e portanto há infinitos racionais nesse intervalo. Por consequência, mesmo entre dois irracionais há infinitamente muitos racionais.

Exercícios de Livros Relacionados