Se a, b, c e d são números reais, prove que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,b,c,dinR, vale
supa+c,;b+d<=supa,b+supc,d
O que vamos usar é que, em R, a suprema de dois elementos é o máximo e que a soma preserva desigualdades.

Passo 2

Defina
M = supa,b = maxa,b, N = supc,d = maxc,d
Então, por definição de máximo,
a <= M, b <= M, c <= N, d <= N

Passo 3

Somando as desigualdades apropriadas, obtemos
a + c <= M + N e b + d <= M + N
Isso mostra que M+N é um majorante do conjunto a+c,;b+d, logo
supa+c,;b+d<= M+N

Passo 4

Bastou notar que M=supa,b e N=supc,d. Substituindo de volta,
supa+c,;b+d<=supa,b+supc,d

Resposta

supa+c,;b+d<=supa,b+supc,d

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