Determine o comprimento do anteperíodo e o do período da representação decimal de 1n nos seguintes casos:
n=42

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do anteperíodo (parte não periódica) e do período (parte repetitiva) da representação decimal de tfrac1n para n=42. O conteúdo é a conversão de fração em decimal periódico, usando a fatoração de n em potências de 2 e 5 (que geram a parte fina não repetida) e o restante s (que determina o período via ordem de 10 em Z/sZ).

Passo 2

Factorizamos
n = 42 = 2^1 times 3^1 times 7^1
Dessa forma, separamos
2^a5^b = 2^1 times 5^0, s = 3^1times7^1 = 21

Passo 3

O anteperíodo tem comprimento
max(a,b) = max(1,0) = 1

Passo 4

O período é dado pelo menor inteiro t>0 tal que
10^t equiv 1 pmod21
Testando potências de 10 em módulo 21:
10^1 equiv 10, 10^2 equiv 16, 10^3 equiv 13, 10^4 equiv 4, 10^5 equiv 19, 10^6 equiv 1pmod21
Portanto o período tem comprimento 6.

Resposta

O anteperíodo tem comprimento 1 e o período tem comprimento 6.

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