Seja
uma fração irredutível que gera uma dízima periódica com um pré-período de s algarismos.
a) Mostre que a representaçāo decimal de
também apresenta préperíodo.
b) Prove que o pré-período de
é formado de 2 s algarismos.
Resolução de b): Da hipótese segue que
, onde
,
e pelo menos um dos expoentes não é nulo. Além disso:
. Como
e as condições da proposição 10 se verificam para o denominador da última fraçāo, entāo o pré-período de
tem
algarismos.
a) Mostre que a representaçāo decimal de
b) Prove que o pré-período de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a fração irredutível
gera uma dízima periódica com pré-período de
algarismos, então a fração
também gera dízima periódica e o seu pré-período tem exatamente
algarismos. Vamos usar o fato clássico de que, para uma fração irreduzível qualquer
, o comprimento do pré-período na representação decimal é igual a
quando
com
.
Passo 2
Como
é irreduzível e apresenta pré-período de
algarismos, temos a fatoração única
onde
,
e pelo menos um entre
é não nulo. Da proposição citada segue
Passo 3
Elevando ao quadrado, o denominador de
fica
Como
, podemos aplicar a mesma proposição: o pré-período de
será
Passo 4
Observando que
concluímos que o pré-período de
tem exatamente
algarismos.
Resposta
O pré-período de
é formado por
algarismos.