Seja mn uma fração irredutível que gera uma dízima periódica com um pré-período de s algarismos.
a) Mostre que a representaçāo decimal de m^2n^2 também apresenta préperíodo.
b) Prove que o pré-período de m^2n^2 é formado de 2 s algarismos.
Resolução de b): Da hipótese segue que n=k cdot 2^a cdot 5^beta, onde k>1, mdc(k, 10)=1 e pelo menos um dos expoentes não é nulo. Além disso: s=max alpha, beta. Como
m^2n^2=m^2k^2 cdot 2^2 alpha cdot 5^2 beta
e as condições da proposição 10 se verificam para o denominador da última fraçāo, entāo o pré-período de m^2n^2 tem
max 2 alpha, 2 beta=2 max alpha, beta=2 s
algarismos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a fração irredutível mn gera uma dízima periódica com pré-período de s algarismos, então a fração m^2n^2 também gera dízima periódica e o seu pré-período tem exatamente 2s algarismos. Vamos usar o fato clássico de que, para uma fração irreduzível qualquer cd, o comprimento do pré-período na representação decimal é igual a maxalpha,beta quando
d = k cdot 2^alpha cdot 5^beta
com gcd(k,10)=1.

Passo 2

Como mn é irreduzível e apresenta pré-período de s algarismos, temos a fatoração única
n = k cdot 2^alpha cdot 5^beta,
onde k>1, gcd(k,10)=1 e pelo menos um entre alpha,beta é não nulo. Da proposição citada segue
s = maxalpha,beta

Passo 3

Elevando ao quadrado, o denominador de m^2n^2 fica
n^2 = l(k cdot 2^alpha cdot 5^betar)^2 = k^2 cdot 2^2alpha cdot 5^2beta
Como gcd(k^2,10)=1, podemos aplicar a mesma proposição: o pré-período de m^2n^2 será
max2alpha,,2beta

Passo 4

Observando que
max2alpha,2beta = 2,maxalpha,beta = 2s,
concluímos que o pré-período de m^2n^2 tem exatamente 2s algarismos.

Resposta

O pré-período de m^2n^2 é formado por 2s algarismos.

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