M e N são pontos dos catetos AB e AC de um triângulo retângulo isósceles ABC , tais que \mathrm{AM}= AN. As retas BN e CM cortam-se em O. Mostrar que \rho triângulo BOC é isósceles.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo ABC retângulo e isósceles em A, ou seja,
\overline{AB}=\overline{AC} e \angle BAC=90^\circ.
Nos catetos AB e AC estão, respectivamente, os pontos M e N tais que
\overline{AM}=\overline{AN}. As retas BN e CM cortam-se em O.
Queremos mostrar que o triângulo BOC é isósceles, isto é, \overline{OB}=\overline{OC}.
Vamos usar reflexão na bissetriz de \angle BAC, que é uma isometria.

Passo 2

Seja l a bissetriz interna de \angle BAC.
Como \overline{AB}=\overline{AC}, a reflexão R cujo eixo é l satisfaz
R(B)=C.
Além disso, como \overline{AM}=\overline{AN} e M\in AB, N\in AC, temos
R(M)=N.

Passo 3

A reflexão R leva a reta BN na reta que passa por R(B) e R(N), isto é,
R(BN)=CM.
Logo, BN e CM são imagens uma da outra por R, e seu ponto de interseção O é fixo por R.
Portanto O pertence ao eixo l.

Passo 4

Qualquer ponto sobre o eixo de uma reflexão é equidistante de um ponto e de sua imagem. Como
O\in l e R(B)=C, segue
\overline{OB}=\overline{OC}.
Isso mostra que o triângulo BOC é isósceles.

Resposta

O triângulo BOC é isósceles, com \overline{OB}=\overline{OC}.

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