A, B, C, D são pontos distintos de uma reta, sucedendo-se na ordem alfabética, e tais que \mathrm{AB}=
\mathrm{CD}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=5 \mathrm{~cm}. Mostrar que \mathrm{AC}=\mathrm{BD} e que os segmentos AD e BC têm o mesmo ponto médio.

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C,D são pontos colineares, nessa ordem, com
\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=3\text{ cm} e \mathrm{BC}=5\text{ cm}.
Vamos usar a propriedade de adição de segmentos numa reta (se X está entre Y e Z, então \mathrm{YZ}=\mathrm{YX}+\mathrm{XZ}) e o conceito de ponto médio (divide o segmento ao meio).

Passo 2

Como B está entre A e C,
\mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=3+5=8\text{ cm}.
Como C está entre B e D,
\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=5+3=8\text{ cm}.
Logo
\mathrm{AC}=\mathrm{BD}.

Passo 3

Calculemos agora os pontos médios. Primeiro,
\mathrm{AD}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=3+5+3=11\text{ cm},
então o ponto médio M de AD está a 11/2=5,5 cm de A.
Já em BC, temos \mathrm{BC}=5 cm, então o ponto médio N de BC está a 5/2=2,5 cm de B.
Como
\mathrm{AN}=\mathrm{AB}+BN=3+2,5=5,5\text{ cm},
vemos que N fica à mesma distância de A que M. Portanto M=N.

Resposta

\mathrm{AC}=\mathrm{BD}
Os segmentos AD e BC têm o mesmo ponto médio.

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