ABC e
são dois triângulos nos quais são iguais: 1) os lados
e
; 2) os ângulos
e B’; 3) as bissetrizes internas BD e B’D’. Mostrar que os dois triângulos são congruentes.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos dois triângulos
e
tais que
-
, -
, - as bissetrizes internas
e têm comprimentos iguais.
Queremos provar que.
Conteúdo a usar: fórmula do comprimento da bissetriz interna e o critério Lado-Ângulo-Lado (LAL).
Passo 2
Em qualquer triângulo, o comprimento
da bissetriz interna do ângulo
satisfaz
Passo 3
Chame
e
.
Pelo triângulo ,
Pelo triângulo
e pelo triângulo
,
Como
, igualamos as duas frações e, após simplificar
, resta
Essa equação só admite solução positiva
. Logo
Passo 4
Agora sabemos que
Pelo critério LAL, os triângulos
e
são congruentes.
Resposta
Os triângulos
e
são congruentes.