ABC e \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} são dois triângulos nos quais são iguais: 1) os lados B C e B^{\prime} C^{\prime}; 2) os ângulos B e B’; 3) as bissetrizes internas BD e B’D’. Mostrar que os dois triângulos são congruentes.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos dois triângulos ABC e A'B'C' tais que
  1. BC = B'C',
  2. \angle B = \angle B',
  3. as bissetrizes internas BD e B'D' têm comprimentos iguais.
    Queremos provar que ABC\cong A'B'C'.
    Conteúdo a usar: fórmula do comprimento da bissetriz interna e o critério Lado-Ângulo-Lado (LAL).

Passo 2

Em qualquer triângulo, o comprimento BD da bissetriz interna do ângulo \angle B satisfaz
BD \;=\;\frac{2\,(AB)\,(BC)\,\cos\!\bigl(\tfrac{\angle B}{2}\bigr)}{AB + BC}.

Passo 3

Chame a = BC = B'C' e \beta = \angle B = \angle B'.
Pelo triângulo ABC,
BD = \frac{2\,AB\cdot a\cdot \cos(\beta/2)}{AB + a},
e pelo triângulo A'B'C',
B'D' = \frac{2\,A'B'\cdot a\cdot \cos(\beta/2)}{A'B' + a}.
Como BD = B'D', igualamos as duas frações e, após simplificar \,2a\cos(\beta/2), resta
\frac{AB}{AB + a} \;=\;\frac{A'B'}{A'B' + a}.
Essa equação só admite solução positiva AB = A'B'. Logo
AB = A'B'.

Passo 4

Agora sabemos que
AB = A'B',\quad BC = B'C',\quad \angle B = \angle B'.
Pelo critério LAL, os triângulos ABC e A'B'C' são congruentes.

Resposta

Os triângulos ABC e A'B'C' são congruentes.

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