Se P1=(x1, y1) e P2=(x2, y2) são pontos distintos e se P=(x, y) está localizado no segmento que os une numa posição tal que a razão entre sua distância a P1 e sua distância a P2 é qp, mostre que
x=p x1+q x2p+q e y=p y1+q y2p+q

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de um ponto P=(x,y) que divide o segmento de extremidades P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) de maneira que
d(P,P1)d(P,P2)=qp
O conteúdo usado será a representação paramétrica de um ponto no segmento e a relação entre essa parametrização e as distâncias aos extremos.

Passo 2

Parametrizamos P por um real tin(0,1) como sendo
(x,y)=(1-t),(x1,y1)+t,(x2,y2) Longrightarrow x=(1-t)x1+t x2,; y=(1-t)y1+t y2
Nesse caso, o comprimento total do segmento é d(P1,P2) e, pela semelhança de triângulos,
d(P,P1)=t,d(P1,P2), d(P,P2)=(1-t),d(P1,P2)

Passo 3

Usando a razão dada
d(P,P1)d(P,P2) =t,d(P1,P2)(1-t),d(P1,P2) =t1-t =qp,
segue que
t1-t=qp Longrightarrow t=qp+q

Passo 4

Basta agora substituir t=tfracqp+q nas fórmulas de x e y:
x=(1-t)x1+t x2 =pp+q,x1+qp+q,x2 =p,x1+q,x2p+q,
y=(1-t)y1+t y2 =pp+q,y1+qp+q,y2 =p,y1+q,y2p+q

Resposta

x=p,x1+q,x2p+q e y=p,y1+q,y2p+q

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