1. Se (x1, y1) e (x2, y2) são pontos distintos da parábola y=x^2, em que ponto da curva é a reta tangente paralela à corda que une esses dois pontos dados?

Passo 1

O enunciado dá dois pontos distintos (x1,y1) e (x2,y2) na parábola y=x^2, isto é, y1=x1^2 e y2=x2^2. Pede-se o ponto da curva cuja reta tangente seja paralela à corda que une esses dois pontos. Vamos usar a ideia de inclinação da corda e igualá-la à derivada (inclinação da tangente).

Passo 2

A inclinação da corda entre (x1,x1^2) e (x2,x2^2) é
mcorda = x2^2 - x1^2x2 - x1,
com x2neq x1.

Passo 3

Fatorando o numerador, obtemos
mcorda = (x2 - x1)(x2 + x1)x2 - x1 = x1 + x2

Passo 4

A derivada de y=x^2 é
y'(x) = 2x
Para que a reta tangente em x=c seja paralela à corda, exigimos
2c = x1 + x2 Longrightarrow c = x1 + x22

Passo 5

A ordenada correspondente é
y = c^2 = (x1 + x22)^2 = (x1 + x2)^24

Resposta

(x1 + x22, (x1 + x2)^24)

Exercícios de Livros Relacionados