Se r e s são as raízes da equação a x^2+b x+c=0, a neq 0 e c neq 0, qual é o valor de 1r^2+1s^2 ?

Passo 1

O enunciado diz que r e s são as raízes da equação
a x^2 + b x + c = 0,
com a neq 0 e c neq 0. O conteúdo aqui é usar as relações de Viète (soma e produto das raízes) para expressar tfrac1r^2 + tfrac1s^2.

Passo 2

Pelas fórmulas de Viète temos
r + s = -ba, r s = ca

Passo 3

Para escrever 1r^2 + 1s^2 em termos de r+s e rs, usamos a identidade
1r^2 + 1s^2 = r^2 + s^2(r s)^2 = (r+s)^2 - 2,r s(r s)^2

Passo 4

Substituindo r+s = -tfracba e r s = tfracca em
(r+s)^2 - 2,r s(r s)^2,
temos
l(-tfracbar)^2 - 2cdottfraccal(tfraccar)^2 = tfracb^2a^2 - tfrac2catfracc^2a^2 = tfracb^2 - 2aca^2tfracc^2a^2 = b^2 - 2acc^2

Resposta

1r^2 + 1s^2 = b^2 - 2acc^2

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