Quais são os teoremas empregados para o cálculo de limites? Exemplifique como esses teoremas são utilizados.
Passo 1
O enunciado pergunta quais são os principais teoremas usados para calcular limites de funções e pede que a gente exemplifique cada um deles. O conteúdo envolve propriedades algébricas de limites, o teorema do confronto (ou “sandwich”), limites de funções compostas e a regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos enunciar cada teorema de forma geral e em seguida mostrar um exemplo de aplicação.
Passo 2
Teoremas de operações algébricas com limites
Sejam e
funções tais que
Sejam
então valem:
. Soma e diferença:
Exemplo: calcule
.
Como e
,
Como
Exemplo:
.
Temos e
, logo
Temos
Exemplo:
.
Note que , assim para
Note que
e
.
Passo 3
Teorema do confronto (ou “sandwich”)
Se, numa vizinhança de (exceto possivelmente em
), vale
Se, numa vizinhança de
e
então
Exemplo: calcule
.
Sabemos , logo
Sabemos
Como
, pelo confronto segue
Passo 4
Teorema da função composta (continuidade na etapa final)
Se satisfaz
e
é contínua em
, então
Se
Exemplo:
.
Defina e
. Temos
e
é contínua em
, então
Defina
Passo 5
Regra de L’Hôpital
Quando o limite gera forma indeterminada
ou
, e
e
são diferenciáveis perto de
com
, vale
Quando o limite
se este último existir.
Exemplo: .
Tanto numerador quanto denominador tendem a . Aplicando L’Hôpital:
Exemplo:
Tanto numerador quanto denominador tendem a
então
Resposta
Os principais teoremas empregados para o cálculo de limites são:
- Propriedades algébricas de limites (soma, diferença, produto e quociente).
- Teorema do confronto (ou “sandwich”).
- Teorema da função composta (continuidade na etapa final).
- Regra de L’Hôpital (para formas indeterminadas
ou ).