Quais são os teoremas empregados para o cálculo de limites? Exemplifique como esses teoremas são utilizados.

Passo 1

O enunciado pergunta quais são os principais teoremas usados para calcular limites de funções e pede que a gente exemplifique cada um deles. O conteúdo envolve propriedades algébricas de limites, o teorema do confronto (ou “sandwich”), limites de funções compostas e a regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos enunciar cada teorema de forma geral e em seguida mostrar um exemplo de aplicação.

Passo 2

Teoremas de operações algébricas com limites
Sejam f e g funções tais que
\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a}g(x)=M
então valem:
1. Soma e diferença:
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=L\pm M.
Exemplo: calcule \lim_{x\to2}(x^2+3x).
Como \lim_{x\to2}x^2=2^2=4 e \lim_{x\to2}3x=3\cdot2=6,
\lim_{x\to2}(x^2+3x)=4+6=10.
2. Produto:
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=L\cdot M.
Exemplo: \lim_{x\to1}(x^2\cdot \ln x).
Temos \lim_{x\to1}x^2=1 e \lim_{x\to1}\ln x=0, logo
\lim_{x\to1}(x^2\ln x)=1\cdot0=0.
3. Quociente (se M\neq0):
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Exemplo: \lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.
Note que x^2-9=(x-3)(x+3), assim para x\neq3
\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,
e \lim_{x\to3}(x+3)=6.

Passo 3

Teorema do confronto (ou “sandwich”)
Se, numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), vale
h(x)\le f(x)\le g(x)
e
\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L,
então
\lim_{x\to a}f(x)=L.
Exemplo: calcule \lim_{x\to0}x^2\sin\bigl(1/x\bigr).
Sabemos -1\le\sin(1/x)\le1, logo
-\,x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2.
Como \lim_{x\to0}\pm x^2=0, pelo confronto segue
\lim_{x\to0}x^2\sin(1/x)=0.

Passo 4

Teorema da função composta (continuidade na etapa final)
Se g satisfaz \lim_{x\to a}g(x)=L e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a}f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(\lim_{x\to a}g(x)\bigr)=f(L).
Exemplo: \lim_{x\to4}\sqrt{x+5}.
Defina g(x)=x+5 e f(u)=\sqrt{u}. Temos \lim_{x\to4}g(x)=9 e f é contínua em 9, então
\lim_{x\to4}\sqrt{x+5}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Regra de L’Hôpital
Quando o limite \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} gera forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty, e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0, vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
se este último existir.
Exemplo: \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.
Tanto numerador quanto denominador tendem a 0. Aplicando L’Hôpital:
f(x)=\sin x\\ \Rightarrow\\ f'(x)=\cos x, \quad g(x)=x\\ \Rightarrow\\ g'(x)=1,
então
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1} =\cos(0)=1.

Resposta

Os principais teoremas empregados para o cálculo de limites são:
  • Propriedades algébricas de limites (soma, diferença, produto e quociente).
  • Teorema do confronto (ou “sandwich”).
  • Teorema da função composta (continuidade na etapa final).
  • Regra de L’Hôpital (para formas indeterminadas 0/0 ou \infty/\infty).

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