Que tipos de comportamento de uma função implicam a não existência do limite? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pergunta quais comportamentos de uma função fazem com que o limite em um ponto não exista. O conteúdo envolve a definição de limite finito: para existir
deve haver coerência dos valores de
ao se aproximar de
, serem finitos e igualar-se no limite pelas duas direções. Se qualquer uma dessas condições falha, o limite não existe.
Passo 2
Comportamento: divergência para infinito.
Se cresce sem limite em módulo ao aproximar de
, o limite não é um número finito.
Exemplo:
Se
Exemplo:
Aqui
, logo não existe limite finito.
Passo 3
Comportamento: oscilação permanente.
Se vibra sem convergir a um valor ao se aproximar de
, o limite não existe.
Exemplo:
Se
Exemplo:
Como
percorre todo intervalo
infinitamente, não há valor limite.
Passo 4
Comportamento: limites laterais diferentes.
Se as aproximações pela esquerda e pela direita de
Aqui
, portanto não há
.
Passo 5
Comportamento: oscilações com amplitude não limitada.
Quando oscila e ainda cresce sem controle, soma dos dois problemas impede limite.
Exemplo:
Quando
Exemplo:
Aqui
oscila entre
e
, mas o divisor
faz a amplitude ir a
, logo não existe limite.
Resposta
- Divergência para
: ex. em . - Oscilação sem convergência: ex.
em . - Limites laterais distintos: ex.
se e se , em . - Oscilações de amplitude crescente: ex.
em .