Que tipos de comportamento de uma função implicam a não existência do limite? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pergunta quais comportamentos de uma função fazem com que o limite em um ponto não exista. O conteúdo envolve a definição de limite finito: para existir \lim_{x\to a}f(x)=L deve haver coerência dos valores de f(x) ao se aproximar de a, serem finitos e igualar-se no limite pelas duas direções. Se qualquer uma dessas condições falha, o limite não existe.

Passo 2

Comportamento: divergência para infinito.
Se f(x) cresce sem limite em módulo ao aproximar de a, o limite não é um número finito.
Exemplo:
f(x)=\frac{1}{x^2},\quad x\to0.
Aqui \lim_{x\to0}f(x)=+\infty, logo não existe limite finito.

Passo 3

Comportamento: oscilação permanente.
Se f(x) vibra sem convergir a um valor ao se aproximar de a, o limite não existe.
Exemplo:
f(x)=\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),\quad x\to0.
Como \sin(1/x) percorre todo intervalo [-1,1] infinitamente, não há valor limite.

Passo 4

Comportamento: limites laterais diferentes.
Se as aproximações pela esquerda e pela direita de a\) dão resultados distintos, o limite não existe. Exemplo: \[f(x)=\begin{cases} -1, & x<0,\\\\ 1, & x>0, \end{cases} \quad x\to0.
Aqui \lim_{x\to0^-}f(x)=-1\] e \(\lim_{x\to0^+}f(x)=1, portanto não há \lim_{x\to0}f(x).

Passo 5

Comportamento: oscilações com amplitude não limitada.
Quando f(x) oscila e ainda cresce sem controle, soma dos dois problemas impede limite.
Exemplo:
f(x)=\frac{\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x},\quad x\to0.
Aqui \sin(1/x) oscila entre -1 e 1, mas o divisor x faz a amplitude ir a \pm\infty, logo não existe limite.

Resposta

  • Divergência para \pm\infty: ex. f(x)=1/x^2 em x\to0.
  • Oscilação sem convergência: ex. f(x)=\sin(1/x) em x\to0.
  • Limites laterais distintos: ex. f(x)=-1 se x<0 e f(x)=1 se x>0, em x\to0.
  • Oscilações de amplitude crescente: ex. f(x)=\sin(1/x)/x em x\to0.

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