A seguinte tabela mostra a população de um certo país, no período 2000-2009, em milhões e representa o tempo, em anos, inicilamente :
t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
25.3 25.51 25.62 25.67 25.7 25.81 25.91 30.2 30.52 30.6
Suponha que existe uma correlação linear entre os dados.
(a) Determine a reta que melhor se ajusta aos pontos.
(b) Utilizando (a), determine a possível quantidade de habitantes no ano 2030.

Passo 1

O enunciado dá a população P (em milhões) de um país para t=10,11,dots,19, onde t=10 representa o ano 2000. Como supomos correlação linear, vamos usar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta
hat P(t)=a,t+b,
onde
a=nsum tP - (sum t)(sum P)nsum t^2 - (sum t)^2 e b=sum P - a,sum tn,
com n=10.

Passo 2

Calculamos as somas necessárias:
sumi=1^10ti=145,
sumi=1^10ti^2=2185,
sumi=1^10Pi=270.84,
sumi=1^10tiPi=3980.43
Substituindo,
a=10cdot3980.43-145cdot270.8410cdot2185-145^2 =39804.3-39271.821850-21025 =532.5825approx0.64545,
b=270.84-0.64545cdot14510 =270.84-93.590910 approx17.7249

Passo 3

A reta de ajuste é
hat P(t)=0.64545,t+17.7249

Passo 4

Para o ano 2030 temos t=10+(2030-2000)=40. Logo,
hat P(40)=0.64545cdot40+17.7249approx25.818+17.7249=43.5429

Resposta

(a) hat P(t)=0.64545,t+17.7249
(b) Em 2030 a população prevista é aproximadamente 43.54 milhões.

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