Seja p(x)=x^{3}+4 x^{2}+x-6. Encontre um polinômio q(x) e uma constante r tais que
p(x)=(x-2) q(x)+r

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{3}+4x^{2}+x-6
e pede para escrever
p(x)=(x-2)\,q(x)+r
ou seja, aplicar o algoritmo da divisão de polinômios pela fatoração linear x-2. Vamos usar o Teorema do Resto para obter r e a divisão sintética para achar q(x).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, a constante r é o valor de p(x) em x=2:
r = p(2) = 2^{3} + 4\cdot2^{2} + 2 - 6 = 8 + 16 + 2 - 6 = 20.

Passo 3

Para encontrar o quociente q(x), fazemos a divisão sintética de p(x) por x-2. Colocamos os coeficientes 1,\;4,\;1,\;-6 e usamos 2:
\begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & 4 & 1 & -6\\\ \hline & & 2 & 12 & 26\\\ \hline & 1 & 6 & 13 & 20 \end{array}
Da linha de baixo vemos que o quociente é
q(x)=x^{2}+6x+13
e o resto confirma 20.

Resposta

q(x)=x^{2}+6x+13 r=20

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