Mostre que:
0,999 ldots=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a dízima periódica ,0,999ldots vale exatamente 1.
Conteúdo: conceitos de séries infinitas (em particular série geométrica) e manipulação algébrica de limites.

Passo 2

Interprete
0,999ldots = 0,9 + 0,09 + 0,009 + cdots
como série geométrica de primeiro termo a=0,9 e razão r=0,1. Como |r|<1, ela converge e seu somatório é
S = a1 - r = 0,91 - 0,1 = 0,90,9 = 1

Passo 3

Alternativamente, seja x = 0,999ldots. Multiplicando ambos os lados por 10,
10x = 9,999ldots = 9 + 0,999ldots = 9 + x
Subtraindo x de ambos os lados, obtemos
9x = 9 Longrightarrow x = 1

Resposta

0,999ldots = 1

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