Seja a função bijetora de R em R definida por f(x)=llx^2-1 & se x >= 0 x-1 & se x<0.
Determine f^-1.

Solução

Notemos que:
1:) se x >= 0, então f(x)=y=x^2-1; logo, y >=-1.
2?) se x<0, então f(x)=y=x-1; logo, y<-1.
A função proposta é:
y=x^2-1, com x >= 0 e y >=-1, ou y=x-1, com x<0 e y<-1.
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis, temos:
x=y^2-1, com y >= 0 e x >=-1, ou x=y-1, com y<0 e x<-1.
II) expressando y em função de x, temos:
y=raizx+1, com y >= 0 e x >=-1, ou y=x+1, com y<0 e x<-1.
Logo, a função inversa f^-1 é de R em R e definida por:
f^-1(x)=l raizx+1 se x >=-1 x+1 se x<-1

Passo 1

O enunciado define uma função bijetora
Como é bijetora, existe , trocando e e resolvendo para .

Passo 2

Ramo x>=0:
Temos
y = x^2-1,
com x>=0. Daí
x = raizy+1,
e a condição x>=0 implica y+1>=0, isto é, y>=-1.

Passo 3

Ramo x<0:
Temos
y = x - 1,
com x<0. Daí
x = y+1,
e a condição x<0 implica y+1<0, isto é, y< -1.

Passo 4

Trocando o papel de y por x (variável da inversa), a função inversa fica
f^-1(x)= raizx+1,&se x>=-1, x+1,&se x< -1

Resposta

f^-1(x)= raizx+1,&se x>=-1, x+1,&se x< -1

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