Seja a função bijetora f, de R-2 em R-1, definida por f(x)=x+1x-2. Qual é a função inversa de f ?

Solução

A função dada é f(x)=y=x+1x-2, com x neq 2 e y neq 1.
Aplicando a regra prática, temos:
x=y+1y-2 Rightarrow x y-2 x=y+1 Rightarrow x y-y=2 x+1 Rightarrow
Rightarrow y(x-1)=2 x+1 Rightarrow y=2 x+1x-1
Resposta: É a função f^-1, de R-1 em R-2, definida por f^-1(x)=2 x+1x-1.

Passo 1

O enunciado dá uma função bijetora
fcolon Rsetminus2toRsetminus1,
definida por
f(x)=x+1x-2
O objetivo é encontrar a função inversa f^-1. Para isso, vamos substituir f(x)=y e resolver a equação para x em função de y, prestando atenção às restrições de domínio e imagem.

Passo 2

Começamos definindo
y = x+1x-2,
com xneq2 e yneq1. Multiplicamos ambos os lados por x-2:
y,(x-2)=x+1
Isso dá
xy - 2y = x + 1
Agora agrupamos os termos com x de um lado:
xy - x = 2y + 1,
logo
x,(y-1)=2y+1

Passo 3

Isolando x, temos
x = 2y+1y-1
Esta expressão é a inversa de f, mas trocando o papel de x e y, obtemos
f^-1(x)=2x+1,x-1,
As restrições vêm de exigir yneq1 (logo xneq1 na inversa) e do domínio original xneq2 (logo a imagem da inversa não pode ser 2).

Resposta

A função inversa é
f^-1colon Rsetminus1toRsetminus2, f^-1(x)=2x+1x-1

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