Seja a função f de R-em R+, definida por f(x)=x^2. Qual é a função inversa de f ?

Passo 1

O enunciado define
,f:R-toR+
por
f(x)=x^2
O conteúdo é função inversa; para encontrar f^-1, precisamos verificar que f é bijetora no domínio indicado.

Passo 2

Para injetividade, tomemos x1,x2inR- com x1<x2. Então |x1|>|x2|, logo
f(x1)=x1^2 > x2^2 = f(x2),
o que implica f(x1)neq f(x2). Assim, f é injetora.
Para sobrejetividade, dado qualquer yinR+ (isto é, y>=0), basta escolher
x = -raizyinR-,
pois
f(x)=(-raizy)^2 = y
Logo, f é sobrejetora.

Passo 3

Escrevendo y=f(x)=x^2, temos
y = x^2
e, ao resolver para x,
x = pmraizy

Passo 4

Como x deve pertencer a R-, selecionamos o sinal negativo. Assim, a inversa f^-1:R+toR- satisfaz
f^-1(y) = -raizy

Resposta

f^-1(y) = -raizy

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