Seja
uma função real definida em
. Prove que o conjunto dos pontos em que
tem descontinuidade simples é no máximo enumerável. Sugestao: Seja
o conjunto no qual
. A cada ponto
de
associe um terno (
) de números racionais tais que:
(a)
;
(b) se
então
;
(c) se
então
.
O conjunto de todos êstes ternos é enumerável. Mostre que a cada terno corresponde no máximo um ponto de
. Trate anàlogamente os outros tipos possiveis de descontinuidades simples.
(a)
(b) se
(c) se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma função real, então o conjunto
é, no máximo, enumerável. Aqui “descontinuidade simples” significa justamente que existem os limites laterais finitos e diferentes. A ideia é particionar em dois subconjuntos, um onde
e outro onde
, e para cada ponto de cada parte associar de modo injetivo um triplo de números racionais. Como
é enumerável, isso mostra que cada parte é no máximo enumerável, e portanto
também.
é, no máximo, enumerável. Aqui “descontinuidade simples” significa justamente que existem os limites laterais finitos e diferentes. A ideia é particionar
Passo 2
Defina
Em seguida trate analogamente
Logo
. Basta mostrar que
é, no máximo, enumerável (o mesmo argumento vale para
).
Passo 3
Se
então
e
satisfazem
. Pela densidade de
em
existe um racional
tal que
Além disso, como
, existe um
com
tal que para todo
vale
Similarmente, como
, existe um
com
tal que para todo
vale
Dessa forma a cada
associamos um triplo
que satisfaz:
(a) .
(b) Se então
.
(c) Se então
.
(a)
(b) Se
(c) Se
Passo 4
Note que o conjunto de todos os possíveis ternos
é enumerável. Para concluir que
é no máximo enumerável, precisamos ver que para cada triplo
existe no máximo um
que gere esse triplo. Suponha, por contradição, que dois pontos distintos
em
fossem associados ao mesmo
. Como
, podemos escolher qualquer
com
Mas então:
– Pelo item (b) aplicado ao ponto , como
, temos
.
– Pelo item (c) aplicado ao ponto , como
, temos
.
Isso é absurdo, pois não pode ser simultaneamente menor e maior que
. Logo não podem existir dois pontos distintos em
com o mesmo triplo. Assim a associação
é injetiva.
– Pelo item (b) aplicado ao ponto
– Pelo item (c) aplicado ao ponto
Isso é absurdo, pois
Passo 5
Com isso
injeta em
, de modo que
é, no máximo, enumerável. O mesmo raciocínio vale para
. Finalmente,
é união de duas partes enumeráveis e, portanto, também é, no máximo, enumerável.
Resposta
O conjunto de pontos de descontinuidade simples de
é, no máximo, enumerável.