Seja f uma função real definida em (a, b). Prove que o conjunto dos pontos em que f tem descontinuidade simples é no máximo enumerável. Sugestao: Seja E o conjunto no qual f(x-)<f(x+). A cada ponto x de E associe um terno ( p, q, r ) de números racionais tais que:
(a) f(x-)<p<f(x+);
(b) se a<q<t<x então f(t)<p;
(c) se x<t<r<b então f(t)>p.
O conjunto de todos êstes ternos é enumerável. Mostre que a cada terno corresponde no máximo um ponto de E. Trate anàlogamente os outros tipos possiveis de descontinuidades simples.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se fcolon(a,b)toR é uma função real, então o conjunto
D=,xin(a,b)mid f(x-) e f(x+) existem e são finitos, mas f(x-)neq f(x+)ã
é, no máximo, enumerável. Aqui “descontinuidade simples” significa justamente que existem os limites laterais finitos e diferentes. A ideia é particionar D em dois sub­conjuntos, um onde f(x-)<f(x+) e outro onde f(x-) > f(x+), e para cada ponto de cada parte associar de modo injetivo um triplo de números racionais. Como Q^3 é enumerável, isso mostra que cada parte é no máximo enumerável, e portanto D também.

Passo 2

Defina
E=,xin(a,b)mid f(x-)<f(x+)
Em seguida trate analogamente
E'=,xin(a,b)mid f(x-)>f(x+)
Logo D=Ecup E'. Basta mostrar que E é, no máximo, enumerável (o mesmo argumento vale para E').

Passo 3

Se xin E então alpha=f(x-) e beta=f(x+) satisfazem alpha<beta. Pela densidade de Q em R existe um racional p tal que
alpha< p<beta
Além disso, como limtto x^-f(t)=alpha<p, existe um qinQ com a<q<x tal que para todo tin(q,x) vale
f(t)<p
Similarmente, como limtto x^+f(t)=beta>p, existe um rinQ com x<r<b tal que para todo tin(x,r) vale
f(t)>p
Dessa forma a cada xin E associamos um triplo (p,q,r)inQ^3 que satisfaz:
(a) ,f(x-)<p<f(x+).
(b) Se q<t<x então f(t)<p.
(c) Se x<t<r então f(t)>p.

Passo 4

Note que o conjunto de todos os possíveis ternos (p,q,r)inQ^3 é enumerável. Para concluir que E é no máximo enumerável, precisamos ver que para cada triplo (p,q,r) existe no máximo um xin E que gere esse triplo. Suponha, por contradição, que dois pontos distintos x<y em E fossem associados ao mesmo (p,q,r). Como q<x<y<r, podemos escolher qualquer t com
x<t<y
Mas então:
– Pelo item (b) aplicado ao ponto y, como q<t<y, temos f(t)<p.
– Pelo item (c) aplicado ao ponto x, como x<t<r, temos f(t)>p.
Isso é absurdo, pois f(t) não pode ser simultaneamente menor e maior que p. Logo não podem existir dois pontos distintos em E com o mesmo triplo. Assim a associação xmapsto(p,q,r) é injetiva.

Passo 5

Com isso E injeta em Q^3, de modo que E é, no máximo, enumerável. O mesmo raciocínio vale para E'. Finalmente,
D=Ecup E'
é união de duas partes enumeráveis e, portanto, também é, no máximo, enumerável.

Resposta

O conjunto de pontos de descontinuidade simples de f é, no máximo, enumerável.

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