(UF-MT) Seja f: R R uma função que satisfaz f(t x)=t^2 cdot f(x), para quaisquer x e t reais. A partir dessas informações, assinale a alternativa correta.
a) f(-x)=f(x), para qualquer x real.
b) f(-x)=-f(x), para qualquer x real.
c) f(x) >= 0, para qualquer x real.
d) f(0)=1.
e) f(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:RtoR que satisfaz a relação de homogeneidade de grau 2:
f(t x)=t^2,f(x)
para quaisquer x e t reais. Precisamos identificar qual das afirmações (a–e) é sempre verdadeira.

Passo 2

Para verificar a paridade de f, escolhemos t=-1 na relação dada:
f(-x)=fl((-1),xr)=(-1)^2,f(x)=1cdot f(x)=f(x)
Logo f(-x)=f(x) para todo x, o que mostra que f é função par.

Passo 3

Nenhuma das outras alternativas vale para toda função deste tipo:
  • (b) seria o caso ímpar, mas já vimos que f é par.
  • (c) exigiria f(x)>=0, mas podemos ter f(x)=a,x^2 com a<0.
  • (d) usando x=0 e tneqpm1 na condição, obtém-se f(0)=0, não 1.
  • (e) não há restrição que force f(1)=1 (o valor f(1) é um parâmetro livre).
Portanto, apenas a alternativa (a) é sempre verdadeira.

Resposta

(a) f(-x)=f(x), para qualquer x real.

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