(UF-PA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:
  • 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
  • 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
  • 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
  • 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
  • 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A cap B=varnothing. Concluímos que o número n de alunos desta turma é
a) 49 .
b) 50 .
c) 47 .
d) 45 .
e) 46 .

Passo 1

O enunciado fornece as quantidades de torcedores dos três clubes numa turma de n alunos:
,|A|=23, |B|=23, |C|=15, |Acap C|=6, |Bcap C|=5 e afirma que Acap B=varnothing.
O conteúdo é o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos, que permite achar o total n=|Acup Bcup C|.

Passo 2

Como Acap B=varnothing, temos
|Acap B|=0
E não há elementos em Acap Bcap C (pois isso exigiria que estivessem em Acap B), logo
|Acap Bcap C|=0

Passo 3

Pelo princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos:
n = |Acup Bcup C| = |A| + |B| + |C| - |Acap B| - |Acap C| - |Bcap C| + |Acap Bcap C|

Passo 4

Substituindo os valores:
n = 23 + 23 + 15 - 0 - 6 - 5 + 0 = 50

Resposta

b) 50.

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