Seja n >= 2. Mostre que entre ne n! existe um primo p.
Sugestão: Considere n! - 1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para cada inteiro n>=2, existe pelo menos um número primo p tal que
n < p < n!,
O conteúdo usado aqui é teoria elementar de divisibilidade e o fato de que todo inteiro maior que 1 possui um divisor primo. A sugestão é estudar o número n! - 1.

Passo 2

Considere o número N = n! - 1. Como N>1, sabemos que existe pelo menos um primo que divide N. Seja, portanto, p um primo tal que
p mid N = n! - 1

Passo 3

Mostramos agora que necessariamente p>n. Se p fosse <= n, então p dividiria também n!, pois todo primo até n aparece na fatoração de n!. Assim, teríamos
p mid n!e pmid (n! - 1),,
logo p dividiria a diferença
n! - (n! - 1) = 1,
o que é impossível, pois nenhum primo divide 1. Logo não pode ocorrer p <= n, isto é, p>n.

Passo 4

Como p é divisor de N = n! - 1, segue também que
p <= n! - 1 < n!,
Combinando as desigualdades, obtemos
n < p < n!,,
que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Tomando qualquer primo divisor de n! - 1, encontramos um primo p tal que
n < p < n!,

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