Seja
. Mostre que entre ne n! existe um primo p.
Sugestão: Considere n! - 1 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para cada inteiro
, existe pelo menos um número primo
tal que
O conteúdo usado aqui é teoria elementar de divisibilidade e o fato de que todo inteiro maior que 1 possui um divisor primo. A sugestão é estudar o número
.
Passo 2
Considere o número
. Como
, sabemos que existe pelo menos um primo que divide
. Seja, portanto,
um primo tal que
Passo 3
Mostramos agora que necessariamente
. Se
fosse
, então
dividiria também
, pois todo primo até
aparece na fatoração de
. Assim, teríamos
logo
dividiria a diferença
o que é impossível, pois nenhum primo divide 1. Logo não pode ocorrer
, isto é,
.
Passo 4
Como
é divisor de
, segue também que
Combinando as desigualdades, obtemos
que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Tomando qualquer primo divisor de
, encontramos um primo
tal que