Seja
um número inteiro composto. Prove que
divide (
)!
Resolução: Sendo n composto, entāo existem
de maneira que
. Assim, a e b são fatores de (
)! Se a
, é imediato, entảo, que
divide (
)! Se
, então
, o que implica
. Daí
e portanto
também é fator de (
)! Donde
o que mostra que
!
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um inteiro composto
(maior que
) divide
. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e fatoriais: usaremos que se
é composto, existe fatoração
com
, e que
contém todos os inteiros de
a
como fatores.
Passo 2
Como
é composto, escrevemos
com inteiros
e
tais que
. Assim
e
são elementos do conjunto
, logo aparecem como fatores de
.
Passo 3
Se
, então
e
são dois fatores distintos em
, e portanto o produto
divide
. Isto resolve o caso
.
Passo 4
Se
então
. Como
, temos
e logo
. Daí
implica
, ou seja,
também é fator de
. Então
contém como fatores tanto
quanto
, cujo produto é
logo
é múltiplo de
pois
é divisível por
.
Resposta
Concluímos que, em ambos os casos,
divide
.