Seja n >= 4 um número inteiro composto. Prove que n divide ( n-1 )!
Resolução: Sendo n composto, entāo existem a, b in Z de maneira que 1<a, b <= n-1 e n=a b. Assim, a e b são fatores de ( n-1 )! Se a neq b, é imediato, entảo, que n divide ( n-1 )! Se a=b, então n=a^2 >= 4, o que implica a >= 2. Daí 2 a <= a^2=n e portanto 2 a também é fator de ( n-1 )! Donde
(n-1)!=(n-1) ldots(2 a) ldots a ldots 2 cdot 1
o que mostra que a^2 mid(n-1) !

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro composto n (maior que 4) divide (n-1)!. O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e fatoriais: usaremos que se n é composto, existe fatoração n=a,b com 1<a<= b<n, e que (n-1)! contém todos os inteiros de 1 a n-1 como fatores.

Passo 2

Como n é composto, escrevemos
n = a,b
com inteiros a e b tais que 1<a<= b<n. Assim a e b são elementos do conjunto 1,2,dots,n-1, logo aparecem como fatores de (n-1)!.

Passo 3

Se aneq b, então a e b são dois fatores distintos em (n-1)!, e portanto o produto a,b = n divide (n-1)!. Isto resolve o caso aneq b.

Passo 4

Se a=b então n=a^2. Como n>4, temos a^2>4 e logo a>2. Daí
2a < a^2 = n
implica 2a<= n-1, ou seja, 2a também é fator de (n-1)!. Então (n-1)! contém como fatores tanto a quanto 2a, cujo produto é
a,(2a)=2a^2=2n,,
logo (n-1)! é múltiplo de n pois 2n é divisível por n.

Resposta

Concluímos que, em ambos os casos, n divide (n-1)!.

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