Para dois inteiros quaisquer
e
, prove que
,
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, para quaisquer inteiros
e
, vale
O conteúdo aqui é usar propriedades de máximo divisor comum, em particular que
e também que, se um número divide dois outros, ele divide qualquer combinação linear desses dois.
Passo 2
Primeiro, vamos ver que qualquer divisor comum de
e
também é divisor de
e de
. De fato, se
e
, então
implica
e de modo análogo
implica
Logo qualquer divisor comum de
é divisor comum de
, daí
Passo 3
Agora vamos mostrar a desigualdade contrária, ou seja, que qualquer divisor comum de
e
também divide
e
. Para isso, formamos combinações lineares:
Tomemos
Logo se um inteiro
divide ambos
e
, então
divide o lado esquerdo acima e, portanto,
.
De forma semelhante,
Logo
também divide
. Assim concluímos que qualquer divisor comum de
e
divide simultaneamente
e
, o que implica
Passo 4
Das desigualdades
seguimos que