Seja é irredutível se, e somente se, n é impar.)

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais inteiros n a fração
n^2 - 13n + 1
é irredutível. Em outras palavras, devemos achar quando
gcd(n^2-1,;3n+1)=1.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para calcular
gcd(n^2-1,;3n+1). Observe que
3,(n^2-1) - n,(3n+1) =3n^2 - 3 - 3n^2 - n = -,n - 3
Logo,
gcd(n^2-1,;3n+1) = gcd(-,n-3,;3n+1) = gcd(n+3,;3n+1)

Passo 3

Continuamos a simplificação usando que
(3n+1) - 3,(n+3) =3n+1 - 3n - 9 = -8
Assim
gcd(n+3,;3n+1) = gcd(n+3,;8)

Passo 4

Como 8 = 2^3, temos gcd(n+3,8)=1 se, e somente se, n+3 for ímpar. Mas n+3 é ímpar exatamente quando n é par.

Resposta

A fração n^2-13n+1 é irredutível se, e somente se, n for par.

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