Sejam e frações ordinárias tais que também é irredutível.)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas frações ordinárias tfracrs e tfracmn tais que
m s - n r = 1
O que queremos mostrar é:
a) tfracrs e tfracmn são irredutíveis, ou seja gcd(r,s)=gcd(m,n)=1.
b) Para todo kinZ com ks+nneq0, a fração
kr+m,ks+n,
também é irredutível, ou seja gcd(kr+m,,ks+n)=1.
Vamos usar argumentos de divisibilidade e combinações lineares inteiras: se um divisor comum divide uma combinação linear que vale 1, então ele só pode ser pm1.

Passo 2

Prova de irreducibilidade de tfracrs.
Suponha que exista um inteiro d>1 que divida simultaneamente r e s. Então dmid r e dmid s implica
dmid (m s - n r)
Mas m s - n r = 1, logo dmid1. Isso força d=1. Portanto gcd(r,s)=1, e tfracrs é irredutível.

Passo 3

Prova de irreducibilidade de tfracmn.
O mesmo raciocínio: se um inteiro d>1 divide m e n, então
dmid(m s - n r)=1,
o que obriga d=1. Logo gcd(m,n)=1 e tfracmn é irredutível.

Passo 4

Prova de irreducibilidade de tfrackr+mks+n.
Seja d>1 um divisor comum de kr+m e de ks+n. Então
dmidl(s,(kr+m)-r,(ks+n)r) Longrightarrow dmid(s m - r n)=1,
o que força d=1. Portanto
gcd(kr+m,;ks+n)=1,
e tfrackr+mks+n é irredutível sempre que ks+nneq0.

Resposta

(a) As condições acima mostram que gcd(r,s)=gcd(m,n)=1, logo tfracrs e tfracmn são irredutíveis.
(b) Pela combinação linear que dá 1, concluímos gcd(kr+m,ks+n)=1, logo tfrackr+mks+n também é irredutível.

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