Sejam
e
frações ordinárias tais que também é irredutível.)
Passo 1
O enunciado diz que temos duas frações ordinárias
e
tais que
O que queremos mostrar é:
a) e
são irredutíveis, ou seja
.
b) Para todo com
, a fração
a)
b) Para todo
também é irredutível, ou seja
.
Vamos usar argumentos de divisibilidade e combinações lineares inteiras: se um divisor comum divide uma combinação linear que vale 1, então ele só pode ser .
Vamos usar argumentos de divisibilidade e combinações lineares inteiras: se um divisor comum divide uma combinação linear que vale 1, então ele só pode ser
Passo 2
Prova de irreducibilidade de
.
Suponha que exista um inteiro que divida simultaneamente
e
. Então
e
implica
Suponha que exista um inteiro
Mas
, logo
. Isso força
. Portanto
, e
é irredutível.
Passo 3
Prova de irreducibilidade de
.
O mesmo raciocínio: se um inteiro divide
e
, então
O mesmo raciocínio: se um inteiro
o que obriga
. Logo
e
é irredutível.
Passo 4
Prova de irreducibilidade de
.
Seja um divisor comum de
e de
. Então
Seja
o que força
. Portanto
e
é irredutível sempre que
.
Resposta
(a) As condições acima mostram que
, logo
e
são irredutíveis.
(b) Pela combinação linear que dá , concluímos
, logo
também é irredutível.
(b) Pela combinação linear que dá