Determine r in Z de maneira que as seguintes frações ordinárias representem números inteiros:
33 r3 r-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros r tais que a fração
33,r3,r - 1
seja um número inteiro. Vamos usar conceitos de divisibilidade e o algoritmo de Euclides (para calcular o gcd).

Passo 2

Para que
33,r3,r - 1
seja inteiro, é preciso que o denominador não seja zero e divida o numerador. Ou seja:
  1. 3,r - 1 neq 0.
  2. 3,r - 1 divide 33,r.

Passo 3

Como r é inteiro, note que
gcd(3,r - 1,;r) = gcd(3,r - 1 - 3,r,;r) = gcd(-1,;r) = 1
Logo, 3,r - 1 e r são primos entre si.

Passo 4

Se gcd(3,r - 1,r)=1 e 3,r - 1 divide 33,r, então 3,r - 1 deve dividir 33. Em outras palavras, existe um divisor inteiro d de 33 tal que
3,r - 1 = d e dmid 33

Passo 5

Os divisores inteiros de 33 são
d in pm 1,;pm 3,;pm 11,;pm 33
Para cada d testamos
r = d + 13
e verificamos se rinZ:
  • d=1implies r=tfrac23 não é inteiro.
  • d=-1implies r=tfrac03=0. Válido.
  • d=3implies r=tfrac43 não é inteiro.
  • d=-3implies r=tfrac-23 não é inteiro.
  • d=11implies r=tfrac123=4. Válido.
  • d=-11implies r=tfrac-103 não é inteiro.
  • d=33implies r=tfrac343 não é inteiro.
  • d=-33implies r=tfrac-323 não é inteiro.

Resposta

Os valores inteiros de r que fazem tfrac33,r3,r-1 inteiro são
r = 0 ou r = 4

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