Se , mostre que são irredutíveis as frações:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninZ, a fração
n-12n-1
é irredutível. Isso significa provar que o máximo divisor comum entre numerador e denominador vale 1. Vamos usar o algoritmo de Euclides, que diz que
gcd(a,b)=gcdl(a,,b - k,ar)
para qualquer inteiro k.

Passo 2

Ao dividir 2n-1 por n-1, o quociente é 2 e o resto é
(2n-1)-2,(n-1)=2n-1-2n+2=1
Pelo algoritmo de Euclides,
gcd(n-1,,2n-1)=gcdl(n-1,,1r)=1
Como o único divisor comum é 1, concluímos que a fração não se simplifica.

Resposta

Para todo ninZ vale gcd(n-1,2n-1)=1, logo tfracn-12n-1 é irredutível.

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