Seja representação decimal de um número natural consideremos . Prove que é divisível por se, e somente se, o número é divisível por .
Resolução: Observemos que:
Como , então:
Ou seja:
Logo:
Em particular, n é divisível por 4 se a1 a0 (número formado pelos dois últimos algarismos de n) é divisível por 4, por 8 se a2 a1 a0 é divisível por 8, etc.
Passo 1
O enunciado nos dá um número natural n com representação decimal
n = arar-1dots ak,ak-1dots a1a0
e pede para provar que, para 1<= k<= r, temos
2^kmid n Long<=ftrightarrow 2^kmid ak-1ak-2dots a1a0,
onde ak-1dots a0 é o número formado pelos k últimos dígitos de n. O conteúdo principal é usar aritmética modular e a fatoração de 10^i.
Passo 2
Escrevemos n como soma das partes de ordem alta e da parte dos k últimos dígitos: