Seja ar ar-1 ldots a2 a1 a0 a representação decimal de um número natural n e consideremos k in N, 1 <= k <= r. Prove que n é divisível por 2^k se, e somente se, o número ak-1 ak-2 ldots a1 a0 é divisível por 2^k.
Resolução: Observemos que:
n=ar cdot 10^r+ldots+ak cdot 10^k+ak-1 cdot 10^k-1+ldots+a1 cdot 10+a0
Como 10^k equiv 0(bmod 2^k), 10^k+1 equiv 0(bmod 2^k), ldots, 10^k equiv 0(bmod 2^k), então:
n equiv ak-1 cdot 10^k-1+ldots+a1 cdot 10+a0(bmod 2^k)
Ou seja:
n equiv ak-1 ak-2 ldots a1 a0(bmod 2^k)
Logo: 2^k|n Long<=ftrightarrow 2^k| ak-1 ak-2 ldots a1 a0
Em particular, n é divisível por 4 se a1 a0 (número formado pelos dois últimos algarismos de n) é divisível por 4, por 8 se a2 a1 a0 é divisível por 8, etc.

Passo 1

O enunciado nos dá um número natural n com representação decimal
n = arar-1dots ak,ak-1dots a1a0
e pede para provar que, para 1<= k<= r, temos
2^kmid n Long<=ftrightarrow 2^kmid ak-1ak-2dots a1a0,
onde ak-1dots a0 é o número formado pelos k últimos dígitos de n. O conteúdo principal é usar aritmética modular e a fatoração de 10^i.

Passo 2

Escrevemos n como soma das partes de ordem alta e da parte dos k últimos dígitos:
n = l(ar10^r + ar-110^r-1 + cdots + ak10^kr) ;+; l(ak-110^k-1 + cdots + a110 + a0r)

Passo 3

Observamos que, para todo i>= k,
10^i = (2cdot5)^i = 2^i,5^i
é múltiplo de 2^k pois i>= k. Logo
10^iequiv 0 pmod2^k para todo i>= k
Isto implica que a soma dos termos de ordem alta é congruente a zero módulo 2^k, e então
n equiv ak-110^k-1 + cdots + a110 + a0 pmod2^k

Passo 4

Pelo fato acima, n deixa o mesmo resto em divisão por 2^k que o número
ak-1ak-2dots a1a0 = ak-110^k-1 + cdots + a0. Portanto
2^kmid n Long<=ftrightarrow n equiv 0pmod2^k Long<=ftrightarrow ak-1dots a0equiv 0pmod2^k Long<=ftrightarrow 2^kmid ak-1dots a0

Resposta

n é divisível por 2^k se, e somente se, o número formado pelos seus k últimos dígitos ak-1ak-2dots a1a0 é divisível por 2^k.

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