Mostre que
e
têm o mesmo algarismo das unidades, para quaisquer inteiros a en, ambos maiores que zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros
e
, os números
e
têm o mesmo algarismo das unidades. O algarismo das unidades de um inteiro é exatamente o seu resto na divisão por
, isto é, devemos provar
Para isso vamos usar aritmética modular e o Teorema de Euler quando
, além de um estudo de casos quando
.
Passo 2
Como explicado, mostrar que
e
têm o mesmo algarismo das unidades equivale a provar
Passo 3
Suponha
. Então pelo Teorema de Euler temos
e
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
o que resolve o caso em que
é coprimo com
.
Passo 4
Suponha agora
. Então
é divisível por
ou por
, e temos três subcasos:
de modo que os restos são iguais.
Como
é par, escreva
. Então
pois
é múltiplo de
. Logo
Passo 5
Em todos os casos —
ou
— chegamos a
Isto mostra que os números
e
têm o mesmo resto na divisão por
, ou seja, o mesmo algarismo das unidades.
Resposta
Para quaisquer inteiros
e
, verifica-se que
e
têm o mesmo algarismo das unidades.