Mostre que a^n+4 e a^n têm o mesmo algarismo das unidades, para quaisquer inteiros a en, ambos maiores que zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros a>0 e n>0, os números a^n+4 e a^n têm o mesmo algarismo das unidades. O algarismo das unidades de um inteiro é exatamente o seu resto na divisão por 10, isto é, devemos provar
a^n+4equiv a^npmod10
Para isso vamos usar aritmética modular e o Teorema de Euler quando gcd(a,10)=1, além de um estudo de casos quando gcd(a,10)neq1.

Passo 2

Como explicado, mostrar que a^n+4 e a^n têm o mesmo algarismo das unidades equivale a provar
a^n+4equiv a^npmod10

Passo 3

Suponha gcd(a,10)=1. Então pelo Teorema de Euler temos varphi(10)=4 e
a^4equiv1pmod10
Multiplicando ambos os lados por a^n obtemos
a^n+4=a^ncdot a^4equiv a^ncdot1 equiv a^npmod10,
o que resolve o caso em que a é coprimo com 10.

Passo 4

Suponha agora gcd(a,10) neq 1. Então a é divisível por 2 ou por 5, e temos três subcasos:
4.1 Se a equiv 0 pmod10, então a^n equiv 0 pmod10 e também a^n+4 equiv 0 pmod10. Logo são iguais no módulo 10.
4.2 Se a equiv 5 pmod10, então para todo n >= 1
a^n equiv 5 pmod10 e a^n+4 equiv 5 pmod10,
de modo que os restos são iguais.
4.3 Se a equiv 2,4,6 ou 8 pmod10 (divisível por 2, mas não por 5), calcula-se diretamente que
a^4 equiv 6 pmod10
Como a^n é par, escreva a^n = 2k. Então
a^n+4 = a^n cdot a^4 equiv 2k cdot 6 = 12k equiv 2k pmod10,
pois 12k - 2k = 10k é múltiplo de 10. Logo
a^n+4 equiv 2k equiv a^n pmod10

Passo 5

Em todos os casos — gcd(a,10)=1 ou gcd(a,10)neq1 — chegamos a
a^n+4equiv a^npmod10
Isto mostra que os números a^n+4 e a^n têm o mesmo resto na divisão por 10, ou seja, o mesmo algarismo das unidades.

Resposta

Para quaisquer inteiros a>0 e n>0, verifica-se que a^n+4 e a^n têm o mesmo algarismo das unidades.

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