Seja n>1 um inteiro.
a) Mostre que se a fração n^2+1n(n^2-1) não varepsilon irredutível, então mdc(n^2+1, n(n^2-1))=2.
b) Mostre que, em qualquer caso, sua representaçāo decimal é infinita e apresenta pré-período.
Sugestäo para b): Mostre que, mesmo quando se dividem numerador e denominador por 2 (na hipótese em que isto é possível), o denominador obtido é múltiplo de 6 .

Passo 1

O enunciado define, para inteiro n>1, a fração
n^2+1nl(n^2-1r)
e pede:
a) Se ela não for irredutível, mostrar que gcdl(n^2+1,;n(n^2-1)r)=2.
b) Mostrar que, em todo caso, sua representação decimal é infinita e periódica.
Conteúdo envolvido: cálculo de máximo divisor comum usando propriedades de gcd em produtos e critério de periodicidade de decimais (termina rightarrow denominador reduzido só tem fatores 2 e 5).

Passo 2

Vamos calcular
d = gcdl(n^2+1,;n(n-1)(n+1)r)
Como gcd(a,bc)=gcdl(gcd(a,b),,cr), basta achar separadamente
gcd(n^2+1,n), gcd(n^2+1,n-1), gcd(n^2+1,n+1)
1. gcd(n^2+1,n)=gcd(1,n)=1.
2. Pela relação nequiv1pmodn-1 vem
n^2+1equiv1^2+1=2pmodn-1 ;Longrightarrow; gcdl(n^2+1,n-1r)=gcd(2,n-1)
3. Pela relação nequiv-1pmodn+1 vem
n^2+1equiv(-1)^2+1=2pmodn+1 ;Longrightarrow; gcdl(n^2+1,n+1r)=gcd(2,n+1)

Passo 3

Note que gcd(2,n-1) e gcd(2,n+1) só podem valer 1 ou 2. Além disso, se n for par, tanto n-1 quanto n+1 são ímpares e cada gcd vale 1, dando d=1 (fração já é irredutível). Se n for ímpar, então npm1 são pares, mas
n^2+1equiv1+1=2pmod4
mostra que n^2+1 não é múltiplo de 4, só de 2. Logo cada gcd(2,npm1)=2, mas apenas uma única potência de 2 entra no gcd total. Concluímos
d= 1,&se a fração já é irredutível, 2,&caso contrário çãáéíá
Isto resolve a alínea (a).

Passo 4

Para a parte (b), recordamos que uma fração em sua forma reduzida tem representação decimal finita se, e só se, o denominador só contiver fatores 2 e/ou 5. Caso contrário, o decimal é infinito e periódico.
No nosso caso, o denominador original é
D = n(n-1)(n+1)
Entre três inteiros consecutivos n-1,n,n+1, um deles é múltiplo de 3. Logo 3mid D. Se a fração era irredutível, o denominador reduzido ainda contém esse fator 3. Se ela era redutível, dividimos por 2 (cf. alínea a), mas o 3 permanece em
n^2+1D;longrightarrow;n^2+12g/D2,
e tfracD2 continua tendo 3 como divisor. Em ambos os casos o denominador reduzido não é da forma 2^a5^b.

Resposta

a) Se a fração não é irredutível, então
gcdl(n^2+1,;n(n^2-1)r)=2
b) Como o denominador (reduzido ou não) sempre mantém o fator 3, a representação decimal é necessariamente infinita e apresenta período.

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