Seja um inteiro.
a) Mostre que se a fração não irredutível, então .
b) Mostre que, em qualquer caso, sua representaçāo decimal é infinita e apresenta pré-período.
Sugestäo para b): Mostre que, mesmo quando se dividem numerador e denominador por 2 (na hipótese em que isto é possível), o denominador obtido é múltiplo de 6 .
Passo 1
O enunciado define, para inteiro , a fração
e pede:
a) Se ela não for irredutível, mostrar que .
b) Mostrar que, em todo caso, sua representação decimal é infinita e periódica.
Conteúdo envolvido: cálculo de máximo divisor comum usando propriedades de gcd em produtos e critério de periodicidade de decimais (termina denominador reduzido só tem fatores e ).
Passo 2
Vamos calcular
Como , basta achar separadamente
. . . Pela relação vem
. Pela relação vem
Passo 3
Note que e só podem valer ou . Além disso, se for par, tanto quanto são ímpares e cada gcd vale , dando (fração já é irredutível). Se for ímpar, então são pares, mas
mostra que não é múltiplo de , só de . Logo cada , mas apenas uma única potência de entra no gcd total. Concluímos
Isto resolve a alínea (a).
Passo 4
Para a parte (b), recordamos que uma fração em sua forma reduzida tem representação decimal finita se, e só se, o denominador só contiver fatores 2 e/ou 5. Caso contrário, o decimal é infinito e periódico.
No nosso caso, o denominador original é
D = n(n-1)(n+1)
Entre três inteiros consecutivos n-1,n,n+1, um deles é múltiplo de 3. Logo 3mid D. Se a fração era irredutível, o denominador reduzido ainda contém esse fator 3. Se ela era redutível, dividimos por 2 (cf. alínea a), mas o 3 permanece em
n^2+1D;longrightarrow;n^2+12g/D2,
e tfracD2 continua tendo 3 como divisor. Em ambos os casos o denominador reduzido não é da forma 2^a5^b.
Resposta
a) Se a fração não é irredutível, então
gcdl(n^2+1,;n(n^2-1)r)=2
b) Como o denominador (reduzido ou não) sempre mantém o fator 3, a representação decimal é necessariamente infinita e apresenta período.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 505