Mostre que:
4,2=4,1999 ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
4,2 = 4,1999ldots
Vamos usar a ideia de série geométrica para ver que a parte decimal 0,1999ldots vale exatamente 0,2.

Passo 2

Observe que
4,1999ldots = 4 + 0,1999ldots
Defina
x = 0,1999ldots
e mostre que x = 0,2.

Passo 3

Escreva x como soma de uma fração e uma série geométrica:
x = 110 + sumk=2^infty 910^k

Passo 4

Calcule a série geométrica
sumk=2^infty 910^k = 9/1001 - tfrac110 = 9/1009/10 = 110
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x = 110 + 110 = 210 = 0,2

Passo 5

Substituindo em 4 + x obtemos
4,1999ldots = 4 + 0,2 = 4,2,
como queríamos demonstrar.

Resposta

,4,2 = 4,1999ldots

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