Ache as geratrizes das seguintes dízimas periódicas:
24,24424242 ldots

Passo 1

O enunciado pede a geratriz (fração geradora) da dízima periódica
x = 24,24424242ldots
ou seja, do número decimal em que os dois primeiros dígitos após a vírgula são “24” (parte não periódica) e a partir daí “42” repete indefinidamente (período de comprimento p=2). Vamos usar a fórmula geral: se um decimal tem n dígitos não periódicos e período de p dígitos, então a parte decimal
,B
vale
B = (n+p primeiros dígitos) - (n primeiros dígitos)10^nl(10^p - 1r) íí

Passo 2

Aqui temos n=2 dígitos não periódicos (“24”) e p=2 dígitos de período (“42”). Os n+p=4 primeiros dígitos após a vírgula formam o número 2442, e os n=2 primeiros formam 24. Logo
B = 2442 - 2410^2cdot(10^2 - 1) = 2418100cdot 99 = 24189900

Passo 3

Agora simplificamos tfrac24189900. Dividindo numerador e denominador por 6, por exemplo,
24189900 = 4031650
Portanto a parte decimal 0,244242ldots = tfrac4031650

Passo 4

O número original x é
x = 24 + B = 24 + 4031650 = 24cdot 1650 + 4031650 = 400031650

Resposta

24,24424242ldots = 400031650

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