Sejam ( ) e ( ) seqüências de números reais convergentes respecti* vamente para .

Passo 1

O enunciado dá duas sequências (an) e (bn) com
limntoinftyan = a, limntoinftybn = b,
e afirma que existe N0 tal que, para todo n>= N0, vale
an >= bn
Queremos mostrar que necessariamente a>= b. Para isso usaremos a definição de convergência e um argumento por contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que
a < b
Então epsilon = tfracb-a2 é um número estritamente positivo.

Passo 3

Como an to a, existe N1 tal que, para todo n>= N1,
|an - a| < epsilon ;Longrightarrow; an < a + epsilon

Passo 4

Como bn to b, existe N2 tal que, para todo n>= N2,
|bn - b| < epsilon ;Longrightarrow; bn > b - epsilon

Passo 5

Defina N = maxN0,N1,N2. Para n>= N temos simultaneamente
an >= bn, an < a + epsilon = a+b2, bn > b - epsilon = a+b2
Logo
an < a+b2 < bn,
o que contraria an >= bn. Isso mostra que a hipótese a<b é impossível.

Passo 6

Portanto não pode ocorrer a<b, e concluímos que
a ;>=; b

Resposta

a >= b

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