Sejam (
) e (
) seqüências de números reais convergentes respecti* vamente para .
Passo 1
O enunciado dá duas sequências
e
com
e afirma que existe
tal que, para todo
, vale
Queremos mostrar que necessariamente
. Para isso usaremos a definição de convergência e um argumento por contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
Então
é um número estritamente positivo.
Passo 3
Como
, existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Como
, existe
tal que, para todo
,
Passo 5
Defina
. Para
temos simultaneamente
Logo
o que contraria
. Isso mostra que a hipótese
é impossível.
Passo 6
Portanto não pode ocorrer
, e concluímos que