(Magistério - 10 e 20 graus - SP-86) Sejam a e b números naturais, não primos entre si, cujo produto é 420 . O máximo divisor comum de aebé:
a) 1
b) 2
c) 3
c) 7
d) 5

Passo 1

O enunciado diz que a e b são naturais, não primos entre si (ou seja, gcd(a,b)>1) e satisfazem
acdot b = 420
Queremos encontrar gcd(a,b).

Passo 2

Suponha d=gcd(a,b). Então podemos escrever
a = d,x, b = d,y, gcd(x,y)=1
Dessa forma
acdot b = d^2,x,y = 420
Isto implica que d^2 é divisor de 420.

Passo 3

Fatorando 420, temos
420 = 2^2 times 3 times 5 times 7
Para que d^2 divida 420, cada expoente de primo em d^2 não pode exceder o de 420. Logo, se d=p1^alpha1p2^alpha2cdots, então 2alphai<= expos do primo em 420.

Passo 4

Analisando os primos de 420:
  • Para o fator 2, o expoente em 420 é 2, logo alpha2<=1.
  • Para os fatores 3,5,7, cada expoente é 1, então 2alphai<=1 força alphai=0.
Assim os únicos d tais que d^2mid420 são d=1 e d=2. Como gcd(a,b)>1, deve ser d=2.

Resposta

b) 2

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