Sejam x, y in N. Se 3<x<6 e 6<y<10, mostre que 2 <= y-x <= 5. De um modo geral, prove que se a<x<b e b<y<c, então 2 <= y-x <= c-a-2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no caso específico, que dados x,yinN com
3 < x < 6 e 6 < y < 10
temos
2 <= y - x <= 5,
e, de modo geral, provar que se
a < x < b e b < y < c
então
2 <= y - x <= c - a - 2
Vamos usar o fato de que, para variáveis inteiras, uma desigualdade estrita m < z < n implica z >= m+1 e z <= n-1.

Passo 2

No caso 3 < x < 6 com xinN obtemos
x >= 3 + 1 = 4 e x <= 6 - 1 = 5
De modo análogo, de 6 < y < 10 com yinN segue
y >= 6 + 1 = 7 e y <= 10 - 1 = 9

Passo 3

Para estimar y - x usamos os extremos:
y - x >= 7 - 5 = 2,
y - x <= 9 - 4 = 5
Logo no caso específico vale
2 <= y - x <= 5

Passo 4

Agora o caso geral. De a < x < b com xinN temos
x >= a + 1 e x <= b - 1
E de b < y < c com yinN segue
y >= b + 1 e y <= c - 1

Passo 5

Subtraindo as desigualdades adequadas, obtemos
y - x >= (b + 1) - (b - 1) = 2,
y - x <= (c - 1) - (a + 1) = c - a - 2
Isso prova a estimativa geral
2 <= y - x <= c - a - 2

Resposta

No caso 3<x<6 e 6<y<10, temos
2 <= y - x <= 5
De modo geral, se a<x<b e b<y<c, então
2 <= y - x <= c - a - 2

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