Se s=a110+a210^2+a310^3+ldots(a1, a2, ldots, atau, ldots in N ; 0 <= ai <= 9), mostre que:
10^r s=a1 a2 ldots ar+ar+110+ar+210^2+ar+310^3+ldots
Resoluçāo: s=lim n infty(a110+ldots+ar10^r+ar+110^r+1+ldots+an10^n), por hipótese. Logo (usando a proposiçāo 5):
10^r s & =lim n infty(10^r-1 a1+10^r-2 a2+ldots+ar+ar+110+ldots+ar+n10^n)= & =lim n infty(a1 a2 ldots ar+ar+110+ar+210^2+ldots+ar+n10^n)= & =a1 a2 ldots ar+lim n infty(ar+110+ar+210^2+ldots+ar+n10^n)= & =a1 a2 ldots ar+ar+110+ar+210^2+ldots+ar+n10^n+ldots

Passo 1

O enunciado trata da expansão decimal
s = a110 + a210^2 + a310^3 + cdots
onde aiin0,1,2,dots,9. Queremos mostrar que, ao multiplicar s por 10^r, “deslocamos” a vírgula, obtendo
10^rs = a1a2dots ar + ar+110 + ar+210^2 + cdots
O conteúdo principal é o uso de séries infinitas e propriedades de limites (proposição de linearidade).

Passo 2

Escrevemos s como limite dos somatórios parciais:
s = limntoinfty Sn, onde Sn = sumi=1^n ai10^i

Passo 3

Aplicamos a proposição de que se limntoinftySn=s então limntoinftyc,Sn=c,s para constante c. Tomando c=10^r obtemos
10^rs = limntoinfty 10^rSn = limntoinfty sumi=1^n ai,10^,r-i

Passo 4

Dentro do somatório, separamos em duas partes os termos com i<= r e i>r:
sumi=1^n ai,10^,r-i = sumi=1^r ai,10^,r-i + sumi=r+1^n ai,10^,r-i
Note que
sumi=1^r ai,10^,r-i = a110^r-1 + a210^r-2 + cdots + ar10^0
é justamente o número inteiro cujos dígitos são a1a2dots ar. Já, para i=r+j,
ai,10^,r-i = ar+j,10^-j = ar+j10^j

Passo 5

Reescrevendo e tomando o limite, temos
10^rs = limntoinftyl(a1a2dots ar + sumj=1^n-rar+j10^jr) = a1a2dots ar + limmtoinftysumj=1^mar+j10^j
Como a série do resto converge à parte decimal a partir de ar+1, concluímos
10^rs = a1a2dots ar + ar+110 + ar+210^2 + ar+310^3 + cdots

Resposta

10^rs = a1a2dots ar + ar+110 + ar+210^2 + ar+310^3 + cdots

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