Se
, mostre que:
Resoluçāo:
, por hipótese. Logo (usando a proposiçāo 5):
Passo 1
O enunciado trata da expansão decimal
onde
. Queremos mostrar que, ao multiplicar
por
, “deslocamos” a vírgula, obtendo
O conteúdo principal é o uso de séries infinitas e propriedades de limites (proposição de linearidade).
Passo 2
Escrevemos
como limite dos somatórios parciais:
Passo 3
Aplicamos a proposição de que se
então
para constante
. Tomando
obtemos
Passo 4
Dentro do somatório, separamos em duas partes os termos com
e
:
Note que
é justamente o número inteiro cujos dígitos são
. Já, para
,
Passo 5
Reescrevendo e tomando o limite, temos
Como a série do resto converge à parte decimal a partir de
, concluímos